โดยใช้กฎการคูณ เราจะได้การนับการจัดเรียงสิ่งของในลำดับที่กำหนดให้แบบหนึ่ง การจัดเรียงนี้ เรียกว่า การเรียงสับเปลี่ยน
ตัวอย่างที่ 8 ในกลุ่มนักเรียน 10 คน จะเลือกนักเรียน 5 คนยืนเรียงกันเป็นแถวเพื่อถ่ายภาพหมู่ ถามว่ามีการจัดเรียงที่เป็นไปได้กี่แบบ การจัดเรียงในที่นี้หมายถึงการจัดที่มีอันดับเข้าเกี่ยวข้องด้วย
วิธีทำ ถ้าให้ A, B, C,..., I, J แทนนักเรียนทั้งสิบคนจะได้ว่า BCEFI, CEFIB และ ABCFG เป็นการจัดเรียงที่ต่างกัน แม้ว่า 2 ชุด แรกเกี่ยวข้องกับนักเรียน 5 คนเดียวกัน
ในการหาคำตอบของคำถามนี้ เราพิจารณาตำแหน่ง และจำนวนนักเรียนที่เป็นไปได้ที่เราสามารถเลือกนักเรียนเพื่อมายืนให้เต็มแต่ละตำแหน่ง
โดยกฎการคูณ จะมีการจัดเรียงที่เป็นไปได้เท่ากับ 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30,240 แบบ ที่จะจัดนักเรียน 5 คน ยืนเรียงกันเป็นแถว จากนักเรียน 10 คน
นิยาม 3 สำหรับจำนวนเต็ม nณ๐
แฟกตอเรียล (factorial) n แทนด้วย n! หมายถึง
๐! = 1
n! = n (n-1) (n-2)... 3 . 2 . 1 , nณ1
ดังนั้น 1! = 1,2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120 เป็นต้น
และ (n + 1)! = (n + 1) n!, nณ0
โดยใช้สัญลักษณ์แฟกตอเรียล เราสามารถเขียนคำตอบในตัวอย่างที่ 8 ในรูป
นิยาม 4 กำหนดให้กลุ่มของสิ่งของ n อย่าง เราเรียกการจัดเรียงใด ๆ ของสิ่งของเหล่านี้ โดยมีอันดับเข้าเกี่ยวข้องด้วยว่า การเรียงสับเปลี่ยน ของกลุ่มนี้
ถ้าเริ่มด้วยอักษร 3 ตัว คือ a, b, c เราพบว่ามีวิธี 6 วิธีในการจัดอักษรทั้ง3 ตัวนี้อย่างคิดอันดับ คือ abc, acb, bac, bca, cab, cba
คราวนี้เราสนใจการจัดเรียงอักษรทีละตัว 2 ตัวจากกลุ่มอักษร 3 ตัว a, b, c จะมีวิธี 6 วิธีในการเรียงสับเปลี่ยนขนาด 2 จากกลุ่มอักษรนี้คือ ab, ba, ac, ca,bc, cb
โดยทั่วไป ถ้ามีสิ่งของ n อย่างแทนด้วย a1, a2, ผ, an และ r เป็นจำนวนเต็มโดยที่ ๑ฃrฃn จะได้ว่า โดยกฎการคูณ
จำนวนการจัดเรียงที่คิดอันดับ คือการเรียงสับเปลี่ยนขนาด r จากสิ่งของ n อย่าง เท่ากับ
ตัวอย่างที่ 9 จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของอักษรทั้งหมดในคำ COMPUTER คือ 8! แบบ แต่ถ้าใช้อักษรแค่ 4 ตัวจากอักษร 8 ตัวในคำ COMPUTERจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขนาด 4 คือ
ตัวอย่างที่ 10 จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของอักษรทั้งหมดในคำ BALL คือ 12ไม่ใช่ 4! หรือ 24 เหตุผลเป็นเพราะ เรามีอักษรที่ต่างกันเพียง 3 ตัวเพื่อสับเปลี่ยน เราได้แสดงการจัดเรียงแบบคิดอันดับ 12 แบบ ดังต่อไปนี้
ถ้าเราคิด L สองตัวว่าต่างกัน โดยให้เป็น L1 กับ L2 คราวนี้เราจะได้การเรียงสับเปลี่ยนของอักษรต่างกัน 4 ตัว : B,A,L1,L2 ซึ่งมีได้ 4! = 24 แบบ ดังนี้
ตารางเปรียบเทียบ การเรียงสับเปลี่ยนแบบที่คิด L สองตัวเหมือนกันกับการเรียงสับเปลี่ยนแบบที่คิด L สองตัวต่างกัน
จะเห็นได้ว่า การเรียงสับเปลี่ยนแต่ละแบบที่คิด L สองตัวเหมือนกันนั้น สมนัยกับการเรียงสับเปลี่ยน 2 แบบ ที่คิด L สองตัวต่างกันทำให้ 2 x (จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของสัญลักษณ์ B, A, L, L)= จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของสัญลักษณ์ B, A, L1L2
นั่นคือ คำตอบของปัญหาเริ่มต้นในการหาการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดของอักษร ในคำ BALL คือ =
ตัวอย่างที่ 11 จงหาการเรียงสับเปลี่ยนของอักษรทั้งหมดในคำ PEPPER วิธีทำ เนื่องจากมีการเรียงสับเปลี่ยนเท่ากับ 3! = 6 แบบที่คิด P ต่างกัน สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนแต่ละชุดที่คิด P เหมือนกัน กล่าวคือ P1EP2 P3ER, P1EP3P2ER, P2EP1P3ER, P2EP3P1ER, P3EP1P2ER และ P3EP2 P1ER ทั้งหมดนี้สมนัยกับ PEPPER เมื่อลบตัวห้อยใต้ P ออก
เช่นเดียวกัน การเรียงสับเปลี่ยน P1EP2P3ER จะมีการเรียงสับเปลี่ยนเท่ากับ 2! = 2 แบบที่สมนัยคือ 1E1P2P3E2R, P1E2P2P3E1Rเมื่อคิด E ต่างกัน ทำให้ได้ว่า (2!) . (3!) . (จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของอักษรที่ไม่มีตัวห้อยในคำ PEPPER)
= จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของอักษรที่มีตัวห้อยในคำ P1E1P2P3E2R
ดังนั้น จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของอักษรในคำ PEPPER คือ โดยทั่วไป ถ้ามีสิ่งของ n ชนิด โดยมีชนิดที่หนึ่งอยู่ n1 ชิ้น ชนิดที่สองอยู่ n2 ชิ้นไปเรื่อย ๆ จนถึงชนิดที่ r อยู่ nr ชิ้น ทั้งนี้ n1 + n2 = ... = nr = n จะได้ว่า มี การเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n ชิ้นนั้นเท่ากับ
ตัวอย่างที่ 12 จงหาการเรียงสับเปลี่ยนของอักษรทั้งหมดในคำ MASSASAUGA และจงหาการเรียงสับเปลี่ยนของอักษรทั้งหมดในคำ MASSASAUGA โดยที่กำหนดให้ A ทั้ง 4 ตัวอยู่ติดกัน
วิธีทำ แน่นอนว่า การเรียงสับเปลี่ยนของอักษรทั้งหมดในคำ MASSASAUGA
เท่ากับ 10!
4!3!2!1!= 25,200 แบบ ทั้งนี้เพราะมีอักษรทั้งหมด 10 ตัว เป็น A อยู่ 4 ตัว เป็น S อยู่ 3 ตัว เป็น M อยู่ 1 ตัว เป็น G อยู่ 1 ตัว และเป็น U อยู่ 1 ตัว คราวนี้เมื่อคิด AAAA เป็นสัญลักษณ์ ๑ ตัว ดังนั้น การเรียบสับเปลี่ยนของอักษร 7 ตัว : AAAA, S, S, S, M, U, G เท่ากับ 7!
1!3!1!1!1!= 840 แบบ
ตัวอย่างที่ 13 ถ้ามีคน 6 คนที่เชื่อว่า A, B, C, ผ, F ถูกจัดให้นั่งรอบโต๊ะกลมตัวหนึ่ง จงหาการจัดเรียงรอบโต๊ะกลม (วงกลม) ที่เป็นไปได้ต่าง ๆ กันทั้งนี้การจัดเรียงที่จัดว่าเหมือนกันคือ การจัดเรียงชุดหนึ่งที่สามารถได้มาจากการจัดเรียงอีกชุดหนึ่งโดยการหมุน ดูรูปประกอบ การจัดเรียงแบบ (ก) และ (ข) ถือว่าเหมือนกัน ขณะที่การจัดเรียงแบบ (ข), (ค) และ (ง) ถือว่าต่างกัน
ในรูป (ก) กับ (ข) เริ่มต้นที่ด้านบนของวงกลมไปตามเข็ม นาฬิกาเราอ่านได้การจัดเรียงเชิงเส้น (เป็นแถวเดียวกัน) ที่ต่างกันเป็น ABEFCD และ CDABEF ซึ่งสมนัยกับการจัดเรียงรอบวงกลมแบบเดียวกัน นอกจากการจัดเรียง 2 ชุดนี้แล้ว ยังมีการจัดเรียงเชิงเส้น 4 ชุด คือ BEFCDA, DABEFC,EFCDABและ FCDABE ซึ่งสมนัยกับการจัดเรียงรอบวงกลมเดียวกันกับในรูป (ก) หรือ (ข)ทำให้การจัดเรียงรอบวงกลมแต่ละชุด สมนัยกับการจัดเรียงเชิงเส้น 6 ชุด จึงได้ว่า
6 x จำนวนการจัดเรียงรอบวงกลมของ A, B,..., F
= จำนวนการจัดเรียงเชิงเส้นของ A, B,..., F
= 6!
ดังนั้นจำนวนการจัดเรียงรอบวงกลมของ A, B,..., F เท่ากับ 6! 6= 5! = 120
ตัวอย่าง 14 คราวนี้สมมติว่า คน 6 คนที่นั่งรอบโต๊ะนั้นคือ สามีภรรยา 3 คู่ โดยมี A, B, C เป็นผู้หญิง เราต้องการจัดคนทั้ง 6 คนนั่งรอบโต๊ะเพื่อว่ามีเพศหญิงชายนั่งสลับกัน (เช่นเดิมการจัดเรียง 2 ชุด ถือว่าเหมือนกัน ถ้าชุดหนึ่งได้มาจากอีกชุดหนึ่งโดยการหมุน) ก่อนที่จะแก้ปัญหานี้ เราแก้ปัญหาเดิมด้วยวิธีใหม่ดังนี้ ถ้าเรากำหนดให้ A นั่งที่โต๊ะ (คงที่) ดังรูป (ก) จะมีที่นั่งอีก 5 ที่ (ตาม
เข็มนาฬิกาจาก A) ที่จะเลือกคนนั่ง
การเลือกคน 5 คน B, C,..., F นั่งในที่ 5 ที่ นี้คือ การเรียงสับเปลี่ยนB, C,..., F อย่างเชิงเส้น และสามารถทำได้เท่ากับ 5! = 120 แบบคราวนี้กลับมาแก้ปัญหาของตัวอย่างนี้ที่ต้องการให้นั่งสลับเพศกัน
กำหนดให้ A นั่งที่โต๊ะ (คงที่) ดังรูป (ข) (อย่าลืมว่า A เป็นผู้หญิง) ตำแหน่งต่อไปตามเข็มนาฬิกาจาก A ให้เป็นตำแหน่ง M(v1) (ผู้ชายคนที่ 1) ซึ่งทำได้3 วิธี (เพราะมีผู้ชาย 3 คน)ต่อไปจะเป็นตำแหน่งผู้หญิงคนที่ 2 (F2) ซึ่งทำได้ 2 วิธี (เหลือผู้หญิงอีก 2 คนคือ B กับ C เนื่องจาก A ถูกจัดนั่งคงที่ไว้แล้ว) ทำไป เช่นนี้จนหมดตำแหน่งที่นั่ง โดยกฎการคูณ จะมีวิธีจัดคน 6 คน นั่งรอบโต๊ะ โดยไม่มีชาย 2 คน หรือหญิง 2 คนใดนั่งติดกันเลย ได้เท่ากับ 120 ื 3 ื 2 ื 1 = 720 แบบ
