สมมติว่า กรรมวิธีหนึ่งทำได้สำเร็จด้วยขั้นตอน 2 ขั้น มีวิธี m วิธีที่จะทำขั้นตอนแรก และสำหรับแต่ละทางเลือกของขั้นตอนแรก มีวิธี n วิธีที่จะทำ ขั้นตอนที่ 2 จะได้ว่า มีวิธีทั้งหมด mn วิธี ที่จะทำกรรมวิธีนี้สำเร็จ
หลักการนี้ยังขยายไปสู่กรรมวิธีที่ทำได้สำเร็จด้วยขั้นตอนมากกว่า 2 ขั้นตอนสมมุติว่า กรรมวิธีหนึ่งทำได้สำเร็จด้วยขั้นตอน k ขั้น
มีวิธี n1 วิธีที่จะทำขั้นตอนที่ 1
มีวิธี n2 วิธีที่จะทำขั้นตอนที่ 2
.
.
.
มีวิธี nk วิธีที่จะทำขั้นตอนที่ k
(ไม่ว่าจะทำอย่างไรไว้ที่ขั้นตอนก่อนหน้านั้น) จะได้ว่า มีวิธีทั้งหมด n1 ื n2 ืืื nk วิธีที่จะทำกรรมวิธีนี้สำเร็จ
ตัวอย่างที่ 1 เลขกำกับ (serial number) ของเครื่องไมโครคอมพิวเตอร์แต่ละเครื่องที่ผลิตจากบริษัทอิเล็กทรอนิกส์แห่งหนึ่งประกอบด้วยอักขระ 5 ตัว โดยที่ อักขระ 2 ตัวแรกเป็นอักษรจากเซต {A, B,..., Z) อักขระที่เหลือ 3 ตัวเป็นเลขจากเซต {0,1,2,...,9} ถามว่าจะมีเลขกำกับเช่นว่าอยู่เท่าใด ถ้า
ก. ยอมให้อักขระซ้ำได้ (อักษรหรือเลขซ้ำได้)
ข. ไม่ยอมให้อักษรซ้ำ แต่เลขซ้ำได้
ค. ไม่ยอมให้ใช้อักขระซ้ำเลย (ทั้งอักษรและเลขไม่ซ้ำ)
ตัวอย่างเลขกำกับดังกล่าว ได้แก่ AA123, NS255, CM478 เป็นต้น
วิธีทำ เราจะคิดว่า เลขกำกับดังกล่าวว่าทำสำเร็จได้ด้วย 5 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 และ 2 เป็นการเลือกอักษรตัวที่ 1 และตัวที่ 2 ตามลำดับจากเซต
{A, B,..., Z}
ขั้นตอนที่ 3 , 4 และ 5 เป็นการเลือกตัวเลขตัวที่ 1 ตัวที่ 2 และตัวที่่่ 3
ตามลำดับจากเซต {0, 1, 2,..., 9} ทั้งนี้การเลือกอักษรหรือเลขเป็นไปตาม เงื่อนไขที่กำหนดให้
ก. ถ้ายอมให้อักขระซ้ำได้
ขั้นตอนที่ 1 หรือขั้นตอนที่ 2 มีวิธี 26 วิธีที่จะทำสำเร็จได้
ขั้นตอนที่ 3, 4 หรือ 5 มีวิธี 10 วิธีที่จะทำสำเร็จได้
โดยกฎการคูณ เนื่องจากขั้นตอนแต่ละขั้นไม่ขึ้นแก่กัน จึงได้ว่าจะมีเลขกำกับ
เครื่องไมโครคอมพิวเตอร์ ที่ยอมให้อักขระซ้ำได้ถึง 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 676,000 แบบ
ข. ถ้าไม่ยอมให้อักษรซ้ำ แต่เลขซ้ำได้
ขั้นตอนที่ 1 มีวิธี 26 วิธีที่จะทำสำเร็จได้
ขั้นตอนที่ 2 จะเหลือวิธี 26 วิธีที่จะทำสำเร็จได้ (เมื่อเลือกอักษรตัวแรก แล้วอักษรตัวที่ 2 ต้องไม่ใช้อักษรเดิมซ้ำ)
ขั้นตอนที่ 3, 4 หรือ 5 มีวิธี 10 วิธีที่จะทำสำเร็จได้ โดยกฎการคูณ จึงได้ว่า จะมีเลขกำกับเครื่องไมโครคอมพิวเตอร์ที่ยอมให้ตัวเลขซ้ำ แต่อักษรไม่ซ้ำ เท่ากับ 26 x 25 x 10 x 10 x 10 = 650,000 แบบ
ค. ถ้าไม่ยอมให้ใช้อักขระซ้ำเลย
ขั้นตอนที่ 1 มีวิธี 26 วิธีที่จะทำสำเร็จได้
ขั้นตอนที่ 2 มีวิธี 25 วิธีที่จะทำสำเร็จได้ (ไม่ยอมใช้อักษรตัวที่ 1 ซ้ำ)
ขั้นตอนที่ 3 มีวิธี 10 วิธีที่จะทำสำเร็จได้
ขั้นตอนที่ 4 มีวิธี 9 วิธีที่จะทำสำเร็จได้ (ไม่ยอมใช้ตัวเลขตัวที่ 1 ซ้ำ)
ขั้นตอนที่ 5 มีวิธี 8 วิธีที่จะทำสำเร็จได้ (ไม่ยอมใช้ตัวเลขตัวที่ 1 และ ตัวที่ 2 ซ้ำ) โดยกฎการคูณ จะมีเลขกำกับเครื่องไมโครคอมพิวเตอร์ที่ไม่ยอมให้อักขระซ้ำเลย เท่ากับ 26 x 25 x 10 x 9 x8 = 468,000 แบบ
ตัวอย่างที่ 2 ในการเปิดแฟ้มเฉพาะแฟ้มหนึ่งที่เก็บไว้ในคอมพิวเตอร์ เราต้องใช้เลขรหัสแบบหนึ่ง แต่โชคร้ายที่ผู้ใช้ทำเลขรหัสนั้นหาย ผู้ใช้จำได้แต่ว่า เลขรหัสเป็นเลขฐานสิบ 4 หลักไม่ขึ้นต้นด้วยเลข 0 และเลขทั้ง 4 หลักต่างกันหมด
ผู้ใช้จึงพยายามลองใช้เลขรหัสที่เป็นไปได้ทั้งหมด ถามว่า ผู้ใช้คนนั้นต้องพยายาม ลองใช้เลขรหัสที่เป็นไปได้มากที่สุดกี่แบบ
วิธีทำ เราคิดว่า เลขรหัสนั้นสร้างจากเลขทีละ 1 หลัก ซ้ายไปขวา
ดังนั้น สำหรับเลขหลักแรก จะมีทางเลือก 9 วิธี (เลขใด ๆ ที่ไม่ใช่่ 0 มี 9 ตัวเลขให้เลือก)
สำหรับเลขหลักที่ 2 จะมีทางเลือก 9 วิธี (สามารถใช้เลขที่เหลือ 9 ตัวเมื่อเลือกเลขหลักแรกแล้ว)
สำหรับเลขหลักที่ 3 จะมีทางเลือก 8 วิธี (สามารถใช้เลขที่เหลือ 8 ตัว เมื่อเลือกเลขหลักแรกและหลักที่ 2 แล้ว)
สำหรับเลขหลักที่ 4 จะมีทางเลือก 7 วิธี (สามารถใช้เลขที่เหลือ 7 ตัว เมื่อเลือกเลขหลักแรก หลักที่ 2 และหลักที่ 3 แล้ว)
ดังนั้น ผู้ใช้คนนี้ต้องพยายามใช้เลขรหัสอย่างมากที่สุดเท่ากับ 9 x 9 x 8 x 7 = 4,536 แบบ
ข้อสังเกต
๑. การที่ทราบว่าเลขแต่ละหลักต่างกันหมด ทำให้ลดจำนวนเลขรหัสลงเกือบครึ่ง เพราะถ้ายอมให้เลขซ้ำได้ จะมีจำนวนเลขรหัสที่เป็นไปได้เท่ากับ 9 x 10 x 10 x 10 = 9,000 แบบ
๒. ถ้าเราคิดว่าเลขรหัสนั้นสร้างจากเลขทีละหลักจากขวาไปซ้ายเริ่มที่หลักสุดท้ายก่อน เราจะเจอปัญหาได้เมื่อมาถึงหลักที่ 1 เราไม่สามารถบอกได้ว่ามีทางเลือกเลขหลักแรกเท่าใด เพราะขึ้นอยู่กับว่าเราเลือก 0 ให้หลักอื่นหรือไม่ ต่อไปพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 3 จะมีจำนวนเต็มอยู่เท่าใดระหว่าง 100 กับ 1000,000 ที่ใช้เลขคี่ต่างกันทุกหลัก เช่น 135, 137,...,357,..., 1357,...,13579, ...., 97531 เป็นต้น
วิธีทำ ปัญหานี้จะง่ายขึ้นถ้าเรารู้จำนวนหลักในเลขนั้น ซึ่งจะแบ่งเป็น 3 กรณี
