ประโยคที่มีตัวแปรและเชื่อมด้วยเครื่องหมายแสดงความไม่เท่ากัน เช่น 4x 20 นี้ เรียกว่า อสมการ การหาค่าของตัวแปรซึ่งจะทำให้ได้ข้อความจริง เรียกว่า การแก้อสมการ
การแก้อสมการที่เชื่อมด้วยเครื่องหมาย ทำได้ง่ายถ้าเราแก้สมการได้ เช่น ถ้าต้องการคำตอบของอสมการ 4x 20 เราก็หาคำตอบของสมการ 4x = 20 เสียก่อน ค่าของ x ซึ่งไม่ได้คำตอบของสมการ 4x = 20 จะเป็นคำตอบของอสมการ 4x 20 ทั้งสิ้น
สำหรับอสมการ 4x 20 นั้น ถ้ากำหนดว่า x จะต้องแทนจำนวนเต็มซึ่งไม่ใช่จำนวนลบ เราก็จะได้คำตอบ 6 คำตอบคือ 0,1,2,3,4,5 กรณีนี้คือ กรณีที่แม่ค้าขายส้มเต็มกิโลกรัมเท่านั้น ถ้าแม่ค้ายอมขายครึ่งกิโลกรัมด้วย คำตอบก็จะมี 0, 1, 1 1, 2, 2 1, 3, 3 1, 4, 4 1, 5 ถ้าแม่ค้าขายเป็นขีดด้วย คำตอบก็จะมีเพิ่มขึ้นอีก คือ 0, .1, .2, .3, .4,..., 4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 5
ถ้าต้องการแก้อสมการ 4x 20 เมื่อ x แทนจำนวนจริง เราจะได้คำตอบมากมาย กล่าวคือจำนวนจริงทุกจำนวนที่ไม่เกิน 5 เป็นคำตอบของอสมการนี้
อสมการ 4x 20 เป็นตัวอย่างของอสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว อสมการแบบนี้เราแก้ได้โดยอาศัยหลักใหญ่ๆ ดังนี้คือ
(1) ถ้านำจำนวนๆ หนึ่ง มาบวกหรือลบทั้งสองข้างของเครื่องหมาย ซึ่งแสดงความไม่เท่ากัน อสมการใหม่จะมีคำตอบเหมือนอสมการเดิม
(2) ถ้านำจำนวนบวกมาคูณหรือหารทั้งสองข้างของเครื่องหมายซึ่งแสดงความไม่เท่ากัน อสมการใหม่จะมีคำตอบเหมือนอสมการเดิม
(3) ถ้านำจำนวนลบมาคูณทั้งสองข้างของเครื่องหมายซึ่งแสดงความมากกว่า อสมการใหม่ซึ่งมีคำตอบเหมือนอสมการเดิม จะต้องเชื่อมด้วยเครื่องหมายที่แสดงความน้อยกว่า
(4) ถ้านำจำนวนลบ มาคูณหรือหารทั้งสองข้างของเครื่องหมายซึ่งแสดงความน้อยกว่า อสมการใหม่ซึ่งมีคำตอบเหมือนอสมการเดิม จะต้องเชื่อมด้วยเครื่องหมายที่แสดงความมากกว่า
อสมการต่อไปนี้มีคำตอบเหมือนกัน
2x + 3 > 5
2x > 2 นำ 3 มาลบทั้งสองข้าง
x > 1 นำ 2 มาหารทั้งสองข้าง
เราสรุปได้ว่าจำนวนใดๆ ซึ่งมากกว่า 1 เป็นคำตอบของอสมการ 2x + 3 > 5 อสมการต่อไปนี้มีคำตอบเหมือนกัน
3 - 2x 5
-2x 2 นำ 3 มาลบทั้งสองข้าง
x -1 นำ -2 มาหารทั้งสองข้าง
เราสรุปได้ว่า -1 หรือจำนวนใดๆ ที่น้อยกว่า -1 เป็นคำตอบของอสมการ 3 - 2x 5
ระบบอสมการเชิงเส้น
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการแก้ปัญหาระบบอสมการเชิงเส้นที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมบางอย่าง
สวนขนัดหนึ่งมีพื้นที่สำหรับปลูกทุเรียนได้ 30 ต้น เจ้าของสวนต้องการปลูกทุเรียน 2 พันธุ์คือ ชะนี และรวง การปลูกใช้กิ่งทาบ ชะนีราคากิ่งละ 25 บาท รวงราคากิ่งละ 10 บาท ชะนีจะให้ผลในเวลา 7 ปี รวงให้ผลในเวลา 5 ปี ชะนีให้ผลประมาณ 25 ผลต่อต้น ส่วนรวงให้ผลประมาณ 50 ผลต่อต้น ชะนีขายได้โดยเฉลี่ยผลละ 45 บาท รวงขายได้โดยเฉลี่ยผลละ 20 บาท หลังจากทุเรียนให้ผลเต็มที่แล้ว ชาวสวนต้องการมีรายได้ประจำปีจากการขายทุเรียนมากที่สุด เขาควรปลูกทุเรียนอย่างละกี่ต้นถ้าเขามีงบประมาณค่าซื้อกิ่งเพียง 500 บาท
สมมุติว่าจะปลูกชะนี x ต้น และรวง y ต้น จะได้เงื่อนไขต่อไปนี้ คือ
(1) x + y 30 (จำนวนต้น)
(2) 25x + 10y 500 (งบประมาณค่ากิ่ง)
ภายใต้เงื่อนไขสองข้อนี้ เขาต้องการให้รายได้ประจำปีสูงสุด ชะนีจะให้รายได้ต้นละ 1,125 บาทต่อปี รวงจะให้รายได้ต้นละ 1,000 บาทต่อปี ดังนั้น หลังจากที่ทุเรียนทุกต้นให้ผลเต็มที่แล้ว เขาจะมีรายได้ 1125x + 1000y บาทต่อปี
ฉะนั้น เราต้องการหาค่า x และ y ที่เป็นไปตามเงื่อนไขข้อ (1) และข้อ (2) และทำให้ 1125x + 1000y มีค่าสูงสุดด้วย นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขที่ละไว้ในฐานที่เข้าใจอีกด้วยว่า x และ y ต้องแทนจำนวนเต็มซึ่งไม่น้อยกว่า 0 เนื่องจาก
x และ y แทนจำนวนต้นไม้
ถ้าปริมาณๆ หนึ่ง ตัวแปรที่ปรากฏในปริมาณนั้นมีเลขชี้กำลังเป็น 1 และตัวแปรไม่คูณกันเลย การหาคำตอบซึ่งทำให้ปริมาณนั้นมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ภายใต้เงื่อนไขที่เขียนได้ในรูปอสมการเชิงเส้น เราเรียกว่า กำหนดการเชิงเส้น
วิธีแก้อสมการ
อสมการอาจมีตัวแปรมากกว่า 1 ตัวแปรก็ได้ และวิธีแก้อสมการที่มีตัวแปรไม่เกิน 2 ตัวแปรเราสามารถใช้วิธีกราฟได้ ดังตัวอย่าง
เราอาจจะใช้วิธีกราฟแก้ระบบอสมการได้ ดังต่อไปนี้
กราฟแสดงคำตอบของระบบอสมการ
2x + 3y 6
x - y 3
ส่วนที่เป็นสีน้ำเงินคือคำตอบของอสมการ 2x + 3y 6 ส่วนที่เป็นสีแดง คือ คำตอบของอสมการ x - y 3 ส่วนตัดคือคำตอบของระบบอสมการที่ต้องการ
กำหนดการเชิงเส้น
ปัจจุบันมีตำรามากมายเกี่ยวกับกำหนดการเชิงเส้น และในตำราเหล่านั้นได้บอกวิธีแก้ปัญหาหลายวิธี ในที่นี้เราจะใช้วิธีเขียนกราฟ ดังต่อไปนี้
จุดทุกจุดบนเส้นตรงที่ผ่านจุด A และจุด B เป็นคำตอบของสมการ x + y = 30 ดังนั้นจุดที่ x + y 30 และ x และ y ไม่น้อยกว่า 0 จะอยู่ในบริเวณรูปสามเหลี่ยม OAB
จุดทุกจุดบนเส้นตรงที่ผ่านจุด C และจุด D นั้น เป็นคำตอบของสมการ 25x + 10y = 500 ดังนั้นจุดที่ 25x + 10y 500 และ x กับ y ไม่น้อยกว่า 0 จะอยู่ในบริเวณรูปสามเหลี่ยม OCD
ฉะนั้น คำตอบของระบบอสมการ (1) และ (2) จะอยู่ในบริเวณรูปสี่เหลี่ยม OAEC ในบรรดาคำตอบเหล่านี้ เราจะต้องหาคำตอบที่ทำให้ 1125x +1000y มีค่าสูงสุด คำตอบเหล่านี้จะต้องให้ค่า x และ y เป็นจำนวนเต็มทั้งคู่ด้วย
ถ้าไม่คิดอะไรเลย เราก็อาจจะหาคำตอบนั้นได้ดังนี้ หาจุดทั้งหมดในบริเวณสี่เหลี่ยม OAEC ซึ่งมีทั้ง x และ y เป็นจำนวนเต็ม (มีอยู่ไม่เกิน 600 จุด) หาค่า 1125x + 1000y ของแต่ละจุด จุดที่ให้ค่ามากสุดคือ คำตอบที่ต้องการ
แต่ถ้าเราใช้ความคิดเพียงเล็กน้อย เราก็จะไม่ต้องพิจารณาจุดทั้งหมดในบริเวณดังกล่าว เพราะจุดสองจุดใดๆ ซึ่งอยู่ในแนวนอนแนวเดียวกัน (ค่า y เท่ากัน) จุดทางขวา (ค่า x มากกว่า) จะให้ค่า 1125x + 1000y มากกว่าจุดทางซ้าย ในทำนองเดียวกัน จุดสองจุดใดๆ ซึ่งอยู่ในแนวตั้งแนวเดียวกัน (ค่า x เท่ากัน) จุดที่อยู่เหนือ (ค่า y มากกว่า) จะให้ค่า 1125x + 1000y มากกว่า ดังนั้นจุดที่จะให้ค่า 1125x + 1000y มากๆ ควรจะเป็นจุดที่อยู่บนขอบ AE และ EC หรือจุดที่อยู่
ใกล้ๆ ขอบทั้งสองนี้เท่านั้น จุดเหล่านี้แสดงไว้ในกราฟ
นอกจากนี้ เรายังสังเกตได้อีกว่า ถ้าพิจารณาจุด (x,y) จุดหนึ่งในบรรดาจุดเหล่านี้บนเส้น AE เช่น (5,25) จุดที่อยู่ถัดไปทางขวาคือจุด (x + 1, y - 1) จะให้ค่า 1125x + 1000y มากกว่า ดังนั้น ในบรรดาจุดเหล่านี้ที่อยู่บน AE จุด (13,17) ซึ่งอยู่ขวาสุด จะให้ค่า 1125x + 1000y มากที่สุด
ดังนั้นเราคำนวณค่า 1125x + 1000y ของจุดต่างๆ ที่เหลือ แล้วนำมาเทียบกับค่าที่ได้จากจุด (13,17) ดังนี้
x y 1125x + 1000y
13
14
15
16
17
18
19
20
15
12
10
7
5
2
0 31625
30750
28875
28000
26125
25250
23375
22500
เราสรุปได้ว่า จุด (13,17) ให้ค่า 1125x + 1000y สูงสุด นั่นคือ ชาวสวนควรจะปลูกชะนี 13 ต้น และปลูกรวง 17 ต้น จึงจะได้รายได้ประจำปีสูงสุด ถ้าเปลี่ยนโจทย์เล็กน้อย คำตอบอาจจะเปลี่ยนไป เช่น
ถ้า x และ y ไม่ต้องแทนจำนวนเต็ม จุด E คือจุด (13 1 16) จะให้ค่า 1125x + 1000y สูงสุด คือ 31,666.67 บาท
ถ้าชาวสวนต้องการรายได้ภายใน 10 ปีสูงสุด เขาจะต้องหาค่า x และ y ซึ่งทำให้ (3 x 45 x 25X) + (5 x 20 x 50y) หรือ 3375X + 5000y สูงสุด คำตอบจะเป็น (0,30) นั่นคือ เขาต้องปลูกรวงหมดทั้งหมดทั้งสวนในกรณีนี้
กำหนดการเชิงเส้นนี้เป็นส่วนหนึ่งของวิชาวิจัยปฏิบัติการ (Operations Research) ซึ่งมีประโยชน์มากสำหรับการวางแผนในวงการต่างๆ เช่น เกษตรกรรม อุตสาหกรรม การขนส่ง ปัจจุบันวิชานี้มีสอนในระดับอุดมศึกษาของสถาบันหลายแห่งในประเทศไทย
