ตรรกวิทยา - อ่านสารานุกรมไทย

          ตรรกวิทยา เป็นวิชาเก่าแก่ มีมาตั้งแต่โบราณนานกว่าสองพันปีมาแล้ว อะริสโตเติล (Aristortle 384-322 ปี ก่อนคริสต์ศักราช) นักปราชญ์ชาวกรีกได้ชื่อว่าเป็นบิดาของวิชาตรรกวิทยา เพราะเขาเป็นคนแรกที่ศึกษาเรื่องราวต่างๆ แล้วใช้ความคิดอธิบายอย่างมีเหตุและผล มิใช่ตามความเชื่อถือที่รับต่อเนื่องกันลงมาอย่างงมงาย
          บางคนให้นิยามวิชาตรรกวิทยาว่าเป็น "วิชาแห่งการใช้ความคิด" ส่วนบางคนให้นิยามว่าเป็น "วิชาแห่งการให้เหตุผลและผลที่ดี" และบางคนก็ให้นิยามว่าเป็น "วิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์การใช้เหตุผล"
          ตรรกวิทยา เป็นวิชาที่เป็นประโยชน์ ช่วยให้คนเราสามารถค้นพบสิ่งที่เป็นความรู้ทั้งหลายทั้งปวงได้ นักวิทยาศาสตร์อาศัยกฎเกณฑ์ของเหตุผลนี้อธิบายปรากฏการณ์ธรรมชาติได้อย่างถูกต้อง นักประดิษฐ์คิดสร้างสิ่งประดิษฐ์ขึ้นได้ก็โดยอาศัยกฎเกณฑ์ของเหตุผลเช่นกัน นายแพทย์สามารถวินิจฉัยโรคของคนไข้ได้ก็ด้วยความคิดที่เป็นเหตุผล และนักปกครองอาจแก้ปัญหาของบ้านเมืองให้ลุล่วงไปได้ด้วยดี ก็เพราะความคิดที่เป็นเหตุผลนี้เอง อาจกล่าวได้ว่าตรรกวิทยาเป็นเครื่องมือสำหรับช่วยแนะแนวทางให้ทุกคนทำงานไปได้ในทางที่ถูกต้อง
          ในปัจจุบัน ได้มีการนำเอาวิชาตรรกวิทยามาใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ ทำให้วิชาคณิตศาสตร์ใช้ประโยชน์ได้กว้างขวางยิ่งขึ้นกว่าเดิมมากมาย กลายเป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับวิศวกรนำไปใช้ทางเทคโนโลยีซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นยิ่งสำหรับมนุษยโลกปัจจุบันวิชาคณิตศาสตร์ที่นำเอาตรรกวิทยาเข้ามาประกอบด้วยนี้เรียกว่า คณิตตรรกวิทยา (Mathematical  Logic)
           เราใช้สัญลักษณ์หลายรูปหลายแบบ แทนคำหรือกลุ่มคำในตรรกวิทยาที่ว่าด้วยสัญลักษณ์ การใช้สัญลักษณ์ ช่วยให้เนื้อหาของวิชานี้ กะทัดรัด เข้าใจง่าย สามารถนำไปใช้ประโยชน์ทางด้านการวิเคราะห์ และวิจัยเรื่องราวต่างๆ ได้อย่างสะดวกและคล่องแคล่วมาก

           ตรรกวิทยา เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ว่าด้วยเหตุและผล ที่ได้จากสามัญสำนึกขั้นพื้นฐานของมนุษย์ ซึ่งมีภาษาเป็นเครื่องถ่ายทอดความหมายเพื่อความเข้าใจซึ่งกันและกัน ภาษาที่สำคัญคือ ภาษาพูดและภาษาเขียน ซึ่งสร้างจากคำต่างๆ แล้วรวบรวมขึ้นเป็นกลุ่มคำที่สามารถเข้าใจความหมายได้
           กลุ่มคำที่สร้างขึ้นบางกลุ่มคำ เราบอกได้ว่า เป็นจริง บางกลุ่มคำเราบอกได้ว่า เป็นเท็จ แต่บางกลุ่มคำเราไม่สามารถบอกได้ว่า เป็นจริง หรือ เป็นเท็จ
           พิจารณากลุ่มคำ "แม่น้ำเจ้าพระยาไหลผ่านกรุงเทพมหานคร" กลุ่มคำนี้ให้ความหมายกระจ่างชัดว่า เป็นจริง (เพราะตรงกับความเป็นจริง)
           พิจารณากลุ่มคำ "แม่น้ำเจ้าพระยาไหลผ่านจังหวัดอุดรธานี" กลุ่มคำนี้ให้ความหมายกระจ่างชัดว่า เป็นเท็จ (เพราะไม่ตรงกับความเป็นจริง)
           พิจารณากลุ่มคำ "เขาเป็นนายกรัฐมนตรี" กลุ่มคำนี้ให้ความหมายไม่กระจ่างชัดว่า เป็นจริง หรือ เป็นเท็จ (เราไม่ทราบว่าเขาผู้นี้คือใคร)
           กลุ่มคำที่ให้ความหมายกระจ่างชัดว่า เป็นจริง หรือ เป็นเท็จ แต่เพียงอย่างเดียวนั้น ในทางตรรกวิทยาเรียกกลุ่มคำชนิดนี้ว่า ประพจน์
           กลุ่มคำที่ให้ความหมายกระจ่างชัดว่า เป็นจริง หรือ เป็นเท็จนั้น ในทางตรรกวิทยาถือว่ากลุ่มคำชนิดนี้ไม่เป็น  ประพจน์
           ในชีวิตประจำวัน เรามักพบข้อความซึ่งเปลี่ยนแปลงไปจากข้อความเดิมโดยเติมคำ "ไม่" เพิ่มเข้าไป หรือข้อความซึ่งเชื่อมประพจน์สองประพจน์ ด้วยคำว่า "และ"  "หรือ"  "ถ้า...แล้วจะได้..."  "ก็ต่อเมื่อ" คำหรือข้อความเหล่านี้เรียกว่าเป็น ตัวเชื่อม เราจะกล่าวถึงตัวเชื่อมที่สำคัญทั้ง 5 อย่างละเอียดต่อไป
           พิจารณาประพจน์สองประพจน์นี้  "2 + 3 = 4" (ประพจน์นี้เป็นเท็จ)
                                                             "3 เป็นจำนวนคี่" (ประพจน์นี้เป็นจริง)
          อาจสร้างประพจน์ขึ้นใหม่ได้ (ซึ่งอาจเป็น จริง หรือ เท็จ) ดังนี้
                "3 ไม่ เป็นจำนวนคี่"
                "2 + 3 = 4 และ  3 เป็นจำนวนคี่"
                "2 + 3 = 4 หรือ  3 เป็นจำนวนคี่"
                "ถ้า 2 + 3 = 4 แล้วจะได้  3 เป็นจำนวนคี่"
                "2 + 3 = 4 ก็ต่อเมื่อ  3 เป็นจำนวนคี่"
          เพื่อความสะดวกและความรวดเร็วในการเขียนและการนำไปใช้
               ประพจน์  "2 + 3 = 4"             เขียนแทนด้วย  ก
               ประพจน์  "3 เป็นจำนวนคี่"         เขียนแทนด้วย  ข
               ตัวเชื่อม  "ไม่"                       เขียนด้วย     ~
               ตัวเชื่อม  "และ"                     เขียนแทนด้วย ^
               ตัวเชื่อม  "หรือ"                     เขียนแทนด้วย v
               ตัวเชื่อม  "ถ้า...แล้วจะได้..."     เขียนแทนด้วย →
               ตัวเชี่อม  "ก็ต่อเมื่อ"                เขียนแทนด้วย ⇔
          จะเห็นว่า
             ~  ข     เขียนแทนประพจน์  "3  ไม่เป็นจำนวนคี่"
             ก ^ ข   เขียนแทนประพจน์  "2 + 3 = 4 และ 3 เป็นจำนวนคี่"
             ก v ข   เขียนแทนประพจน์ "2 + 3 = 4 หรือ 3 เป็นจำนวนคี่"
             ก  →  ข   เขียนแทนประพจน์  "ถ้า 2 + 3 = 4 แล้วจะได้ 3 เป็นจำนวนคี่"
             ก  ⇔  ข   เขียนแทนประพจน์  "2 + 3 = 4  ก็ต่อเมื่อ 3 เป็นจำนวนคี่"

           เราทราบแล้วว่า ประพจน์ในตรรกวิทยาแต่ละประพจน์นั้น เป็นจริงหรือเป็นเท็จแต่เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง กรณีของความเป็นจริงหรือความเป็นเท็จ ที่จะเกิดขึ้นได้ มีดังนี้
           ถ้ามีประพจน์เดียว คือ ประพจน์ ก จะมีกรณีที่เกิดขึ้นได้แตกต่างกัน 2 กรณี  คือ
           กรณีที่  1  ประพจน์  ก  เป็นจริง
           กรณีที่  2  ประพจน์  ก  เป็นเท็จ

           ถ้ามีสองประพจน์คือ  ก,ข เชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมต่างๆ จะมีกรณีเกิดขึ้นได้แตกต่างกัน 4 กรณี คือ
           กรณีที่  1  ประพจน์  ก  เป็นจริง  ประพจน์  ข  เป็นจริง
           กรณีที่  2  ประพจน์  ก  เป็นจริง  ประพจน์  ข  เป็นเท็จ
           กรณีที่  3  ประพจน์  ก  เป็นเท็จ  ประพจน์  ข  เป็นจริง
           กรณีที่  4  ประพจน์  ก  เป็นเท็จ  ประพจน์  ข  เป็นเท็จ

          ถ้ามีสามประพจน์ คือ ก,ข,ค เชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมต่างๆ จะมีกรณีที่เกิดขึ้นได้แตกต่างกัน 8 (หรือเขียนได้ว่า 23) กรณี  คือ
          กรณีที่  1  ประพจน์  ก  เป็นจริง  ประพจน์  ข  เป็นจริง  ประพจน์  ค  เป็นจริง
          กรณีที่  2  ประพจน์  ก  เป็นจริง  ประพจน์  ข  เป็นจริง  ประพจน์  ค  เป็นเท็จ
          กรณีที่  3  ประพจน์  ก  เป็นจริง  ประพจน์  ข  เป็นเท็จ  ประพจน์  ค  เป็นจริง
          กรณีที่  4  ประพจน์  ก  เป็นจริง  ประพจน์  ข  เป็นเท็จ  ประพจน์  ค  เป็นเท็จ
          กรณีที่  5  ประพจน์  ก  เป็นเท็จ  ประพจน์  ข  เป็นจริง  ประพจน์  ค  เป็นจริง
          กรณีที่  6  ประพจน์  ก  เป็นเท็จ  ประพจน์  ข  เป็นจริง  ประพจน์  ค  เป็นเท็จ
          กรณีที่  7  ประพจน์  ก  เป็นเท็จ  ประพจน์  ข  เป็นเท็จ  ประพจน์  ค  เป็นจริง
          กรณีที่  8  ประพจน์  ก  เป็นเท็จ  ประพจน์  ข  เป็นเท็จ  ประพจน์  ค  เป็นเท็จ

         ถ้ามีสี่ประพจน์ เช่น ก,ข,ค,ง เชื่อมกัน จะมีกรณีเกิดแตกต่างกันได้ 24 กรณี
         ถ้ามีห้าประพจน์ เช่น ก,ข,ค,ง,จ เชื่อมกัน จะมีกรณีที่เกิดแตกต่างกันได้  25
         กรณี ถ้ามีประพจน์เชื่อมกัน จะมีกรณีแตกต่างกันได้  2n