พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า - อ่านสารานุกรมไทย

          รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปที่มีด้านเท่ากันทุกด้าน และมุมภายในเท่ากันทุกมุม รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เป็นรูปที่มีจำนวนด้านน้อยที่สุด เราสามารถบรรจุรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าลงในวงกลมได้เสมอ รูปหกเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปที่สร้างได้ง่ายที่สุด ใช้วงเวียนเขียนวงกลมรัศมีตามต้องการเลือกจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงเป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งของวงกลมให้มีรัศมีเท่าวงกลมเดิมตัดเส้นรอบวงของวงกลม ทำเช่นนี้เรื่อยไปจะได้จุดตัดบนเส้นรอบวง 6 จุดพอดี จุดทั้ง 6 นี้จะเป็นจุดมุมยอดของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า มีความยาวของแต่ละด้านเท่ากับรัศมีวงกลมนั้น
          ชาวกรีกในสมัยโบราณได้รู้วิธีสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจำนวนด้านเป็น 3, 4, 5, 6, 8, 10 และ 15 โดยการใช้เพียงไม้บรรทัด (ซึ่งไม่มีการแบ่งสเกล) และวงเวียนเท่านั้น ในปี ค.ศ. 1796  เกาส์ ได้พบว่าเราจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าโดยใช้แต่เพียงไม้บรรทัดกับวงเวียนเท่านั้นได้ เมื่อจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่านั้น เป็นจำนวนเฉพาะซึ่งอยู่ในแบบ
          n  =  22t + 1   เมื่อ  t  เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ  จะเห็นได้ว่า
          ถ้า  t = 1  เราได้  n = 5 ถ้า t = 2  ได้ n = 17 ถ้า t = 3 ได้  n = 257

          ดังนั้นเราจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนเท่านั้นเมื่อจำนวนด้านเป็น 5, 17, 257, 65537,...ได้เสมอ แต่เราจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจำนวนด้านเป็น 7, 9, 11 และ  13   โดยวิธีนี้ไม่ได้เลย ถ้าให้ a เป็นระยะที่ด้านของรูปหลายเหลี่ยมอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมและ  P เป็นความยาวของเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมนั้น  พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าจะเท่ากับ 1/2aP
          สำหรับรูปที่มี n เหลี่ยมด้านเท่าถ้าให้  b แทนความยาวของแต่ละด้านจะได้ P = nb ดังนั้นพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่าจะเท่ากับ 1/2nab
          คุณสมบัติที่สำคัญอีกประการหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าก็คือ แต่ละด้านจะปิดมุมที่ศูนย์กลางเท่ากัน  สำหรับรูป n เหลี่ยมด้านเท่าก็จะปิดมุม 2π/nเรเดียนที่ศูนย์กลาง เราอาจแสดงได้ว่าพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่าเท่ากับ 1/4 nb2 cot π/n

    n      3      4        5        6       7      8      9  พื้นที่   0.433b2  0.100b2  1.720 b2  2.598 b2   3.634 b2   4.828 b2   6.182 b2
          ถ้าเราเพิ่มจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าขึ้นเรื่อยๆ ไม่สิ้นสุดก็อาจจะแสดงได้ว่า พื้นที่ของวงกลมเท่ากับ πr2 เมื่อ r เป็นรัศมีวงกลม
         ในบรรดารูปเหลี่ยมทั้งหลายนี้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นรูปเหลี่ยมที่เราคุ้นเคยที่สุด บานหน้าต่าง ประตู เสื่อ ผ้าขาวม้า  เตียงนอน หรือแคร่ ฯลฯ  ล้วนมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เมื่อเราขึ้นไปบนที่สูงๆ จะแลเห็นทุ่งนากั้นเป็นกระทงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เพราะเราสามารถหาขนาดพื้นที่ได้ง่าย ลวดลายต่างๆ  ที่เขาทำบนเสื่อหรือเสื่อน้ำมันก็มักจะเป็นรูปเรขาคณิตของรูปหลายเหลี่ยม ทำให้ดูสวยสดงดงามขึ้น