ความรู้ เกร็ดความรู้ สารานุกรม สารานุกรมออนไลน์ ความรู้รอบตัว ความรู้ทั่วไป พจนานุกรม เกมส์ เพลงใหม่ เพลง

สมการและอสมการ, สมการและอสมการ หมายถึง, สมการและอสมการ คือ, สมการและอสมการ ความหมาย, สมการและอสมการ คืออะไร
| เปิดอ่าน 0 | ความคิดเห็น 2
สมการและอสมการ

          สมการที่น่าสนใจประเภทหนึ่ง คือ สมการที่ต้องการคำตอบเฉพาะที่เป็นจำนวนเต็ม หรือจำนวนตักยะ สมการประเภทนี้เรียกว่า  สมการไดโอแฟนทีน (Diophantine equations) ซึ่งเป็นชื่อที่ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อ  ไดโอแฟนทัส *(Diophantus)

          ตัวอย่างของโจทย์ปัญหาประเภทนี้คือ "มีส้มอยู่จำนวนหนึ่ง ถ้าจะแบ่งให้คน 5 คนๆ ละเท่าๆ กัน จะขาดส้ม 1 ผล ถ้าจะแบ่งให้คน 7 คนๆ ละเท่าๆ กัน ก็จะขาด 1 ผล ถามว่ามีส้มอยู่เท่าไร"
          ถ้าสมมุติว่ามีส้มอยู่ n ผล เราจะได้ว่า n+1 หารด้วย  5 ลงตัว และหารด้วย 7 ก็ลงตัว นั่นคือ n+1 = 5x  และ n+1 = 7y  เมื่อ x และ y แทนจำนวนเต็มบวก

          เราจึงต้องแก้สมการ 5x = 7y  เมื่อ x และ y  แทนจำนวนเต็มบวก

          จะเห็นว่าสมการนี้มีคำตอบมากมายได้แก่ (7,5), (14,10), (21,15), (28,20), (35,25), (42,30),... คำตอบเหล่านี้ให้ค่า 5x (หรือ 7y)  เป็น 35, 70, 105, 140, 175, 210,... ตามลำดับ  ดังนั้นค่าของ n ที่ต้องการคือ 34, 69, 104, 139, 174, 209,... ถ้าโจทย์ถามเพิ่มเติมว่าจำนวนส้มน้อยที่สุดเป็นเท่าไร จึงจะมีลักษณะตามที่ต้องการ ก็จะได้คำตอบ  34

          สมการไดโอแฟนทีนมีอยู่มากมายหลายประเภท สมการไดโอแฟนทีนที่มีชื่อเสียงมากสมการหนึ่งคือ สมการ x2 + y2  = z2 ซึ่งเราเรียกกันว่า สมการปีทาโกเรียน (Pythagorean equation) ชื่อนี้ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่ ปีทาโกรัส*(Pythagorus) การหาคำตอบที่เป็นจำนวนบวกของสมการนี้ก็คือ การหาความยาวที่เป็นจำนวนเต็มของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากนั่นเอง คำตอบที่เราทราบกันดีคือ x=3, y=4, z=5 ซึ่งเขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า (3,4,5) สมการปีทาโกเรียนนี้มีคำตอบมากมายนับได้ไม่หมด คำตอบทั้งหลายหาได้จากสูตรต่อไปนี้ คือ

          x = a2 - b2,y = 2ab และ  z = a2 + b2 เมื่อ a และ b แทนจำนวนเต็ม เช่น ถ้าให้ a = 2 และ b = 1 เราจะได้คำตอบ (3,4,5) ถ้าให้ a = 3 และ b = 2  เราจะได้คำตอบ (5,12,13) ถ้าให้ a = 3 และ b = 1เราจะได้คำตอบ (8,6,10) เป็นต้น

         เรากล่าวได้ว่าสมการปีทาโกเรียนนั้น เราทราบคำตอบได้อย่างสมบูรณ์เพราะเรามีวิธีหาคำตอบทั้งหมดได้

         สมการไดโอแฟนทีนที่มีตัวแปร 2  ตัว และเป็นการเชิงเส้น เช่น 5x = 7y, 6x + 15y = 12  ฯลฯ เราทราบคำตอบได้อย่างสมบูรณ์ แต่สมการไดโอแฟนทีนส่วนใหญ่ยังไม่ทราบคำตอบอย่างสมบูรณ์ บางสมการยังไม่ทราบเลยด้วยซ้ำไปว่ามีคำตอบหรือไม่ เช่น สมการ xn + yn = zn  เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มซึ่งมากกว่า 2 สมการนี้ไม่มีใครทราบเลยว่ามีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือไม่

         แฟร์มาต์* ทำนายไว้ว่า "สมการ xn + yn = zn  ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2"  ข้อความนี้เขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า "ไม่ว่า x, y, z, n จะเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็ตาม ถ้า n มากกว่า 2 แล้ว จะได้ว่า xn + yn  zn" ข้อความนี้เรียกกันว่า ทฤษฏีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (Fermat's Last Theorem) ในระยะเวลา 300 กว่าปีที่ผ่านมานี้ นักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามพิสูจน์ข้อความนี้ และมีผู้ค้นพบข้อความนี้เป็นข้อความจริงสำหรับหลายค่าของ n เช่น มีผู้พิสูจน์ได้ว่า "ไม่ว่า x,y,z,n จะเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็ตาม ถ้า n มากกว่า 2 และน้อยกว่า 100 แล้ว จะได้ว่า xn + yn    zn" แต่จนบัดนี้ก็ยังไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่า ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เป็นข้อความจริงหรือเท็จ

        ความจริง ปัญหาคณิตศาสตร์ที่เกิดในชีวิตประจำวันมักจะไม่ใช่ปัญหาสมการ เช่น ถ้าเราต้องการซื้อของ เราก็มักจะใช้ซื้อจนเงินหมดกระเป๋า เพียงแต่ซื้อไม่ให้เกินเงินที่มีอยู่เท่านั้น เช่น มีเงิน 20 บาท จะซื้อส้มเขียนหวานราคากิโลกรัมละ 4 บาท เราอาจจะไม่ซื้อจนหมดเงิน เราอาจจะซื้อเพียง 1 กิโลกรัม หรือ 2 กิโลกรัมเท่านั้น แต่เราจะซื้อเกิน 5 กิโลกรัมไม่ได้ ถ้าสมมุติว่าซื้อ x  กิโลกรัม จะสิ้นเงิน 4x  บาท ถ้าซื้อจนหมดเงิน จะเขียนได้เป็นสมการ 4x = 20 แต่โดยปกติแล้วเราไม่จำเป็นต้องซื้อจนหมดเงิน เราจึงกำหนดเพียงว่า 4x ต้องไม่มากกว่า 20 หรือ 4x  น้อยกว่าหรือเท่ากับ 20  ซึ่งเขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า 4x    20

เครื่องหมายที่แสดงความไม่เท่ากันที่นิยมใช้กันมีดังต่อไปนี้
>     แทนคำว่า      มากกว่า
              "          มากกว่าหรือเท่ากับ
<            "          น้อยกว่า
              "          น้อยกว่าหรือเท่ากับ
             "         ไม่เท่ากับ

        * ไดโอแฟนทัสมีชีวิตอยู่ในสมัยประมาณ 250 ปี ก่อนคริสต์ศักราช เป็นชาวเมืองอเล็กซานเดรีย เราไม่ค่อยทราบรายละเอียดเกี่ยวกับชีวิตของเขามากนัก แต่อาจจะคำนวณอายุของเขาได้จากคำซึ่งเล่ากันต่อๆ มาดังนี้
            เขาเป็นเด็กอยู่ 1 ของอายุของเขา เป็นวัยรุ่นอยู่  1 ของอายุ เป็นชายโสดอยู่ 1  ของอายุ ลูกชายของเขาเกิดเมื่อเขาแต่งงานแล้ว 5 ปี ลูกชายตายก่อนเขา 4 ปี เขามีอายุยืนเป็น 2 เท่าของลูกชาย (คำตอบคือ 84 ปี)

       * ปีทาโกรัส เป็นนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกมีชีวิตอยู่ระหว่างปี 582-507 ปีก่อนคริสต์ศักราช ทฤษฎีบทของเขาซึ่งเรารู้จักกันดี คือทฤษฎีบทในเรขาคณิตที่กล่าวว่ากำลังสองของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ย่อมเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวอีกสองด้าน

       *แฟร์มาต์ (ค.ศ. 1601-1665) เป็นชาวฝรั่งเศส อาชีพรับราชการ งานอดิเรกคือ คณิตศาสตร์ ถือได้ว่าเป็นคนหนึ่งที่ริเริ่มเรขาคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัสแต่ปัจจุบันคนรู้จักเขามากจากผลงานของเขาเรื่องทฤษฎีของจำนวน (Theory of Numbers)

สมการและอสมการ, สมการและอสมการ หมายถึง, สมการและอสมการ คือ, สมการและอสมการ ความหมาย, สมการและอสมการ คืออะไร

ร่วมเป็นแฟนเพจเรา บน Facebook..ได้ที่นี่เลย!!

บทความอื่น ของสารานุกรมไทยสำหรับเยาวชนฯ เล่มที่ 6

สารานุกรมเล่มอื่นๆ

คำยอดฮิต

Sanook.commenu