 |  |  | | |  สารานุกรมไทยสำหรับเยาวชนฯ เล่มที่ 6 |   |
| |  | ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola) โดย นายสุรวิทย์ กองสาสนะ
มีจุดคงที่หรือจุดโฟกัสสองจุดเช่นเดียวกับวงรี ถ้าเราให้จุดๆ หนึ่งเคลื่อนที่ไป โดยมีผลต่างของระยะทางระหว่างจุดที่เคลื่อนที่และจุดคงที่ทั้งสองมีค่าคงที่แล้ว จุดที่เคลื่อนที่ไปนั้นจะขีดรอยเส้นโค้งขึ้นซึ่งเรียกว่า เส้นโค้งไฮเพอร์โบลา และจะมีเส้นโค้งเช่นนี้ถึงสองส่วนโดยไม่ติดต่อกันเลย
ตามรูป F และ F' เป็นจุดคงที่สองจุด P เป็นจุดที่กำลังเคลื่อนที่โดยมีคุณสมบัติว่า PF'- PF = ค่าคงที่ = K ทางเดินของจุด P จะเป็นส่วนหนึ่งของเส้นโค้งไฮเพอร์โบลา แต่ถ้าเราให้ P' เป็นจุดที่กำลังเคลื่อนที่โดยมีคุณสมบัติว่า
P'F - P'F' = ค่าคงที่ = K
ทางเดินของจุด P ก็จะเป็นอีกส่วนหนึ่งของไฮเพอร์โบลาเดียวกัน
ถ้าลากเส้นตรงผ่าน F และ F' เส้นตรงนี้จะตัดส่วนทั้งสองของเส้นโค้ง ไฮเพอร์โบลาที่ A และ A' ซึ่งเราเรียกว่าจุดยอดของเส้นโค้ง เนื่องด้วย A และ A' ต่างก็อยู่บนเส้นโค้ง ดังนั้น AF'- AF = K = A'F - A'F'
จุด A และ A' ต่างก็เป็นจุดที่ และ AF = A'F' ดังนั้น K = AA' เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลา แสดงว่าผลต่างของระยะทางจากจุดโฟกัสไปยังจุดบนไฮเพอร์โบลานั้น เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลา
เราอาจจะเขียนเส้นโค้งไฮเพอร์โบลาด้วยไม้บรรทัด เส้นด้าย และดินสอ ดังนี้ กำหนดจุดคงที่ F และ F' ไว้บนกระดาษ ใช้เส้นด้ายที่มีความยาวน้อยกว่าความยาวของไม้บรรทัด และให้ผลต่างของความยาวของไม้บรรทัดและเส้นด้ายน้อยกว่าระยะทางระหว่าง F และ F' พอสมควร ใช้หมุดตรึงปลายข้างหนึ่งของไม้บรรทัดไว้ที่จุด F' ผูกปลายหนึ่งของเส้นด้ายไว้ที่จุด F และผูกอีกปลายหนึ่งไว้ที่ปลายอีกข้างหนึ่ง (ในรูปคือจุด B) ใช้ปลายดินสอดึงเส้นด้ายให้ตึงโดยให้เส้นด้ายส่วนหนึ่งอยู่ในแนวของไม้บรรทัดที่ค่อยๆ หมุนไป ปลายดินสอก็จะขีดรอยเส้นโค้งไฮเพอร์โบลาส่วนหนึ่งซึ่งอยู่เหนือเส้น FF' การเขียนส่วนโค้งส่วนที่อยู่ใต้ FF' ก็เพียงแต่วางไม้บรรทัดตามเส้นประ (ดังในรูป)
การเขียนส่วนที่สองของเส้นโค้ง ก็เปลี่ยนเอาปลายไม้บรรทัดอีกปลายหนึ่งให้หมุนรอบจุด F เอาเส้นด้ายผูกปลายไว้ที่ C และ F' และกระทำเช่นเดียวกันก็จะได้เส้นโค้งส่วนที่สอง
จากรูป PF' - PF = (PF'+ PB) - (PF + PB)
= CB - (PF + PB)
= ความยาวของไม้บรรทัด - ความยาวของด้าย
= ความยาวคงที่จำนวนหนึ่ง
= ระยะทางระหว่าง A และ A'
สมการทั่วไปของเส้นโค้งไฮเพอร์โบลามีแบบเป็น
x2/a2 - y2/b2 = 1
ถ้าสังเกตให้ดีจะเห็นว่ามีเส้นตรงสองเส้น ลากผ่านจุดกึ่งกลางของ FF' เส้นตรงสองเส้นนี้จะไปพบเส้นโค้งไฮเพอร์โบลาที่ระยะอนันต์ เส้นทั้งสองนี้มีลักษณะคล้ายเป็นกรอบของเส้นโค้ง
กราฟของสมการ xy = 1 ก็เป็นไฮเพอร์โบลาอีกแบบหนึ่งซึ่งมีแกน x และแกน y เป็นเส้นกรอบ และมีเส้นที่ทำมุม 45 องศากับแกน x เป็นแกนของรูป เส้นโค้งทั้งสี่ชนิดที่กล่าวมานี้คือ วงกลม วงรี พาราโบลาและไฮเพอร์โบลา เป็นเส้นโค้งที่ได้จากการตัดรูปกรวยมีฐานเป็นวงกลมด้วยพื้นราบ ในลักษณะต่างๆ กันดังนี้
ถ้าตัดด้วยพื้นราบซึ่งขนานกับฐาน จะได้รอยตัดเป็นวงกลม แต่ถ้าให้พื้นราบเอียงทำมุมพอสมควรกับฐานจะได้วงรี เมื่อพื้นราบเอียงจนขนานกับเส้นที่ลากจากจุดยอดของกรวยไปยังฐาน จะได้รอยตัดเป็นรูปพาราโบลา แต่ถ้าผ่ากรวยออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันโดยผ่านจุดยอดจะได้เส้นตรงคู่ ถ้าใช้กรวยขนาดเท่ากันสองกรวยวางให้จุดยอดต่อกัน (ดังรูป) แล้วตัดด้วยพื้นราบซึ่งตั้งได้ฉากกับฐานของกรวย จะได้รอยตัดเป็นรูปไฮเพอร์โบลาสองส่วนอยู่บนกรวยแต่ละส่วน เราจึงถือว่า วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา และเส้นตรงคู่เป็นเส้นโค้งจากภาคตัดของกรวย (conic sections)
| 
| ไฮเพอร์โบลา |  |
|
| พาราโบลา | |
|
| เส้นตรงคู่ | |
|
[ดูภาพทั้งหมดในหมวด] |
หัวข้อ
การเคลื่อนที่ของจุดซึ่งอยู่บนวงกลม
ถ้าเราทำเครื่องหมายไว้แห่งหนึ่งบนขอบนอกของล้อรถ เช่น ล้อรถจักรยาน เมื่อรถวิ่งไปบนพื้นราบ เราจะสังเกตเห็นว่าเครื่องหมายที่ทำไว้นั้น ก็จะเคลื่อนที่ไปด้วย เมื่อตรวจสอบทางเดินของเครื่องหมายที่ทำไว้จะเห็นว่าเป็นเส้นโค้งชนิดหนึ่ง ในทางคณิตศาสตร์เรียกเส้นโค้งนี้ว่า ไซคลอยด์ (cycloid) มีลักษณะคล้ายคลื่น ฉะนั้นไซคลอยด์ก็คือ ทางเดินของจุดๆ หนึ่งบนวงกลมที่กลิ้งไปบนเส้นตรง
ถ้าหงายเส้นโค้งไซคลอยด์ลง และให้ M เป็นจุดต่ำที่สุดของเส้นโค้งนี้ คุณสมบัติพิเศษของไซคลอยด์ก็คือ เมื่อเอาลูกบอลวางไว้ที่จุด P ซึ่งอยู่ที่ส่วนใดๆ ของเส้นโค้งนี้ก็ตาม เมื่อปล่อยลูกบอลให้กลิ้งลงมาตามเส้นโค้ง ลูกบอลจะมาถึงจุด M ในเวลาเท่ากันหมด
ท่านอาจจะลองคิดต่อไปว่า ถ้า P1 เป็นจุดๆ หนึ่งบนรัศมี OP เมื่อวงกลมกลิ้งไปบนเส้นตรง ทางเดินของจุด P1 จะมีลักษณะอย่างไร ถ้า P2 เป็นจุดๆ หนึ่งบนรัศมี OP ที่ต่อออกไป ทางเดินของจุด P2 จะเป็นอย่างไรเมื่อกลิ้งวงกลมไปบนเส้นตรง
ทดลองโดยเอาเหรียญบาทมาสองอัน วางเหรียญหนึ่งไว้ให้อยู่กับที่ ทำเครื่องหมายไว้หนึ่งแห่งที่ขอบของเหรียญที่สอง แล้วค่อยๆ กลิ้งเหรียญที่สองรอบเหรียญที่วางไว้อยู่กับที่จนรอบ ทางเดินของเครื่องหมายบนขอบเหรียญที่สองจะเป็นเส้นโค้งมีลักษณะ (ดังรูป) ดูคล้ายกับรูปหัวใจ ทางคณิตศาสตร์เรียกเส้นโค้งชนิดนี้ว่า คาร์ดีออยด์ (cardioid) ซึ่งเป็นทางเดินของจุดๆ หนึ่งบนวงกลมที่กลิ้งรอบวงกลมที่อยู่กับที่อีกวงหนึ่ง
คราวนี้ลองให้วงกลมที่กลิ้งไปนั้นมีรัศมีน้อยกว่ารัศมีของวงกลมที่อยู่กับที่จุดที่ทำเครื่องหมายบนวงกลมวงนอก จะอยู่บนวงกลมวงในมากกว่าหนึ่งแห่ง ทำให้ทางเดินเป็นส่วนโค้ง (arch) มากกว่าหนึ่งส่วน เช่น ถ้าวงกลมวงนอกมีรัศมีเท่ากับครึ่งหนึ่งของรัศมีของวงกลมวงใน จะได้เส้นโค้งเป็นส่วนโค้งสองส่วน ถ้าวงกลมวงนอกมีรัศมีเพียงเศษหนึ่งส่วน n ของรัศมีวงกลมวงในก็จะได้ส่วนโค้ง n ส่วนรอบวงกลมวงใน เราเรียกเส้นโค้งชนิดนี้ว่า เอพิไซคลอยด์ (Epicycloid)เส้นโค้งคาร์ดิออยด์เป็นกรณีเฉพาะของเส้นโค้งเอพิไซคลอยด์
ถ้าเอาวงกลมเล็กไปกลิ้งภายในวงกลมใหญ่ซึ่งอยู่กับที่ จุดที่อยู่บนวงกลมเล็กจุดหนึ่งก็จะขีดเส้นโค้งขึ้นภายในวงกลมใหญ่ เราเรียกทางเดินของจุดเช่นนี้ว่า ไฮโพไซคลอยด์ (Hypocycloid) จำนวนเส้นโค้งภายในวงกลมใหญ่จะมี n ส่วนโค้ง เมื่อวงกลมใหญ่มีรัศมีเป็น n เท่าของรัศมีวงกลมเล็ก
ท่านอาจจะลองเขียนเส้นโค้งไฮโพไซคลอยด์ เมื่อวงกลมใหญ่มีรัศมีเป็นสองเท่าและสามเท่าของวงกลมเล็กดูบ้างว่าเส้นโค้งมีลักษณะอย่างไร
[กลับหัวข้อหลัก]
| 
| คาร์ดีออยด์ | |
|
| เอพิไซคลอยด์ | |
|
|
การเขียนเส้นโค้งโดยใช้เส้นรังสีและมุม
เขียนวงกลมรัศมี 2 1/4 นิ้ว จากจุดศูนย์กลางเขียนเส้นรังสี 18 เส้นให้ทำมุมเท่ากับ 20 องศาเท่าๆ กันโดยใช้ไม้โพรแทรกเตอร์ (ไม้ที่มีสเกลแบ่งมุม) ให้ตัวเลขรังสีเริ่มจาก 0 ถึง 17 แล้วต่อไปเป็น 18, 19, 20,...ตามรูป กำหนดจุดบนเส้นรังสีเหล่านี้ จุดแรกบนรังสีที่หนึ่งอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง 1/8นิ้ว จุดที่สองบนรังสีที่สองอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง 2/8นิ้ว จุดที่สามบนรังสีที่สามอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง 3/8นิ้ว ทำเช่นนี้ไปจนถึงรังสีที่ 18 จุดจะอยู่บนวงกลมพอดี ถ้าทำต่อไปโดยให้ความยาวของรังสีเพิ่มขึ้นครั้งละ 1/8 นิ้ว แล้วโยงจุดเหล่านี้เข้าด้วยกัน จะได้เส้นโค้งเป็นรูปก้นหอย (spiral)
จากวิธีการเขียนเส้นโค้งก้นหอย จะเห็นได้ว่าถ้าให้ O เป็นจุดคงที่ เส้น OX เป็นเส้นที่อยู่คงที่เส้นหนึ่ง เส้นตรงใดๆ ที่ลากผ่าน O มีความยาว r และทำมุม q กับเส้น OX เราเรียกเส้น OP ว่ารังสี OP การวัดมุม q วัดจาก OX ไป หา OP ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาถือว่าเป็นการวัดไปในทิศทางบวก มุม q จะวัดในหน่วยองศาหรือเรเดียนก็ได้ (มุม 1เรเดียน คือมุมที่ศูนย์กลางของวงกลมซึ่งรองรับส่วนโค้งของเส้นรอบวงของวงกลม มีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมนั้น มุม 2p เรเดียน เท่ากับ 360 องศา และมุม 1 เรเดียนเท่ากับ 57.28 องศาโดยประมาณ) การวัดมุมอาจจะวัดกี่รอบก็ได้ เราบอกตำแหน่งของจุด P ด้วยขนาดของความยาว r ของรังสี OP และขนาดของมุม q ที่ OP ทำกับเส้น OX และเขียนแสดงโดยคู่ลำดับ (r,q)
จุดต่างๆ บนเส้นโค้งก้นหอยสร้างจากหลักเกณฑ์ "ความยาวของรังสี OP เป็นปฏิภาคโดยตรงกับขนาดของมุมที่ OP ทำกับเส้น OX" เขียนเป็นสมการดังนี้
r = aq
เมื่อ a เป็นค่าคงที่ เราเรียกเส้นโค้งแบบนี้ว่า เส้นโค้งก้นหอยแบบอาร์คีมีดีส (Spiral of Archimedes) ถ้าลองกลับไปดูความยาวของเส้นรังสี ที่วัดจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดบนเส้นโค้งก้นหอยแบบอาร์คีมีดีส จะเห็นว่าความยาวจะเพิ่มขึ้นเป็นความก้าวหน้าเลขคณิต ดังนี้
1/8,2/8,3/8,4/8, 5/8,6/8, 7/8, ...
เราอาจจะสร้างเส้นโค้งก้นหอยอีกแบบหนึ่ง ให้ความยาวของรังสีค่อยๆ เพิ่มขึ้นแบบความก้าวหน้าเรขาคณิตก็ได้ เมื่อมุมของรังสีเท่ากันหมดที่จุดศูนย์กลาง เส้นโค้งก้นหอยที่น่าสนใจแบบหนึ่งมีความยาวของรังสีที่อยู่ห่างกัน 12 พจน์ เป็น 2 เท่ากัน กล่าวคือ ถ้าความยาวของรังสีเรียงตามลำดับแบบความก้าวหน้าเรขาคณิต
r, r2, r3,...rn,...
เมื่อแทนรังสีที่ n ด้วย rn ดังนั้น rn = rn จะได้
rn + 12 = 2rn หรือ rn+12 = 2rn
ดังนั้น r12 = 2 หรือ r = 1.0595
แบ่งมุมรอบจุด O ออกเป็น 24 ส่วนเท่าๆ กันโดยเส้นรังสี Oa, Ob, Oc, B, C,...บนเส้นรังสี Oa, Ob, Oc,...ดังต่อไปนี้
จุด A อยู่บน Oa ให้ OA = 1.00 หน่วย
จุด B อยู่บน Ob ให้ OB = 1.06 หน่วย
จุด C อยู่บน Oc ให้ OC = 1.12 หน่วย
จุด D อยู่บน Od ให้ OD = 1.19 หน่วย
จุด E อยู่บน Oe ให้ OE = 1.26 หน่วย
จุด F อยู่บน Of ให้ OF = 1.33 หน่วย
จุด G อยู่บน Og ให้ OG = 1.41 หน่วย
จุด H อยู่บน Oh ให้ OH = 1.50 หน่วย
จุด I อยู่บน Oi ให้ OI = 1.59 หน่วย
จุด J อยู่บน Oj ให้ OJ = 1.68 หน่วย
จุด K อยู่บน Ok ให้ OK = 1.78 หน่วย
จุด L อยู่บน Ol ให้ OL = 1.89 หน่วย
จุด M อยู่บน Om ให้ OM = 2.00 หน่วย
จุด N อยู่บน On ให้ On = 2.12 หน่วย
จุด P อยู่บน Op ให้ Op = 2.24 หน่วย
จุด Q อยู่บน Oq ให้ Oq = 2.38 หน่วย
จุด R อยู่บน Or ให้ OR = 2.52 หน่วย
จุด S อยู่บน Os ให้ OS = 2.66 หน่วย
จุด T อยู่บน Ot ให้ OT = 2.83 หน่วย
จุด U อยู่บน Ou ให้ OU = 3.00 หน่วย
จุด V อยู่บน Ov ให้ OV = 3.17 หน่วย
จุด W อยู่บน Ow ให้ Ow = 3.36 หน่วย
จุด X อยู่บน Ox ให้ OX = 3.56 หน่วย
จุด Y อยู่บน Oy ให้ Oy = 3.77 หน่วย
จุด A' อยู่บน Oa ให้ OA' = 4.00 หน่วย
จุด B' อยู่บน Ob ให้ OB' = 4.24 หน่วย
จุด C' อยู่บน Oc ให้ OC' = 4.49 หน่วย
จากการสังเกตจะเห็นว่า
OA' = 4 OA
OB' = 4 OB
OC' = 4 OC
...................
OA" = 4 OA' = 16 OA
OB" = 4 OB' = 16 OB
OC" = 4 OC' = 16 OC
[กลับหัวข้อหลัก]
| 
| เส้นโค้งก้นหอย | |
|
| เส้นโค้งก้นหอยแบบอาร์คีมีดีส | |
|
| เส้นโค้งก้นหอยแบบลอการิทึม | |
|
|
เส้นโค้งก้นหอยแบบลอการิทึม (logarithmic sprial)
เส้นโค้งก้นหอยแบบนี้มีคุณสมบัติพิเศษประการหนึ่งคือ เส้นรังสีและเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งจะทำมุมเท่ากันหมดตลอดทุกจุดบนเส้นโค้ง นักคณิตศาสตร์เรียกเส้นโค้งแบบนี้ว่า เส้นโค้งก้นหอยแบบมีมุมเท่ากัน (equiangular spiral) หรือเรียกว่า เส้นโค้งก้นหอยแบบลอการิทึม (logarithmic sprial) และมีสมการทางคณิตศาสตร์ ดังนี้
log r = aq
เมื่อ a เป็นค่าคงที่ q เป็นมุมที่เส้นรังสีทำกับเส้นตรงเส้นหนึ่งที่ใช้เป็นเส้นเริ่มต้น และ r เป็นความยาวของรังสี ท่านอาจจะเขียนเส้นโค้งแบบก้นหอยแบบมีมุมเท่ากัน โดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนเท่านั้นก็ได้ โดยดำเนินการตามลำดับดังนี้
1. สร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ก ข ค ง ให้ด้าน ก ข ยาว 13 เซนติเมตร ด้าน ข ค ยาว 21 เซนติเมตร
2. สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จ ฉ ค ง ยาวด้านละ 13 เซนติเมตร อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ก ข ค ง
3. ใช้จุด ฉ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี ฉ ค 13 เซนติเมตร เขียนส่วนโค้งของวงกลมจากจุด ค ไปยังจุด จ
4. สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ก ช ซ จ ยาวด้านละ 8 เซนติเมตร จากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ก ข ฉ จ
5. ใช้จุด ซ เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี จ ซ เขียนส่วนโค้งของวงกลมจากจุด จ ไปยังจุด ช
6. สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ช ข ต ด ยาวด้านละ 5 เซนติเมตร จากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ช ข ฉ ซ
7. ใช้จุด ด เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี ด ช เขียนส่วนโค้งของวงกลมจากจุด ช ไปยังจุด ต
8. สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ต ฉ ท ถ ยาวด้านละ 3 เซนติเมตร จากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ต ฉ ซ ด
9. ใช้จุด ถ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี ถ ต เขียนส่วนโค้งของวงกลมจากจุด ต ไปยังจุด ท
10. สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ท ซ ธ น ยาวด้านละ 2 เซนติเมตร จากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ท ซ ด ถ
11. ใช้จุด น เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี น ท เขียนส่วนโค้งของวงกลมจากจุด ท ไปยังจุด ธ
12. สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด บ ป ธ ยาวด้านละ 1 เซนติเมตร จากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด ถ น ธ (ในขั้นนี้จะเหลือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส บ ถ น ป ยาวด้านละ เซนติเมตร ป็นรูปสุดท้าย)
13. ใช้จุด ป เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี ป ธ เขียนส่วนโค้งของวงกลมจากจุด ธ ไปยังจุด บ
ส่วนโค้งของวงกลมที่เริ่มต้นจากจุด ค ไปจนถึงจุด บ จะเป็นเส้นโค้งก้นหอยแบบมีมุมเท่ากัน จากวิธีการนี้จะเห็นได้ว่าเรามีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีความยาวของแต่ละด้านเรียงกันดังนี้
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...
แต่ละพจน์ของอันดับนี้ ได้จากผลบวกของสองพจน์ ซึ่งอยู่ข้างหน้าติดกับพจน์นั้นมาบวกกัน เช่น
2 = 1+1, 3 = 1+2, 5 = 2+3, 8 = 3+5, 13 = 5+8, 21 =8+13
โดยหลักเกณฑ์นี้ เราก็จะเขียนพจน์ต่อไปได้เรื่อยๆ ไม่สิ้นสุด นักคณิตศาสตร์เรียกจำนวนที่เรียงกันไปตามกฎเกณฑ์เช่นนี้ว่า อันดับฟิโบนักชี (Fibonacci sequence) ของจำนวน จากความรู้ที่ได้นี้ ท่านจะเขียนเส้นโค้งก้นหอยให้มีขนาดใหญ่ขึ้นโดยสร้างจัตุรัสที่มีความยาวของแต่ละด้านเป็นเลขในอันดับฟิโบนักชีต่อไปได้เรื่อยๆ
ในธรรมชาติ เราอาจจะสังเกตเห็นลวดลายของหอยหลายชนิด ลวดลายของดอกไม้บางประเภท และลวดลายของตาสับปะรด เป็นต้น มีลักษณะคล้ายกับเส้นโค้งก้นหอยสองชุดตัดกัน
การเขียนเส้นโค้งโดยใช้วิธีการวัดความยาวของรังสี และมุมที่รังสีนั้นกระทำกับเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่ง ทำได้โดยหาคู่ลำดับ (r, q) จากสมการซึ่งแสดงความสัมพันธ์กันในแบบสมการของ r และ q เมื่อกำหนดค่าของ q ต่างๆ ก็จะได้ค่าของ r ที่คู่กับ q นั้นๆ จากนี้ก็สามารถกำหนดตำแหน่งของจุด P ลงบนแผ่นกระดาษได้ แล้วโยงจุดต่างๆ ด้วยเส้นโค้งก็จะได้ทางเดินของจุดซึ่งเป็นไปตามกฎเกณฑ์ที่แสดงโดยสมการของ r และ q นั้นๆ
กระดาษกราฟที่จะใช้สำหรับวิธีที่จะกล่าวนี้ มีลักษณะเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกันหลายๆ วง และเส้นรังสีที่ออกจากจุดศูนย์กลางทำมุมขนาดต่างๆ กัน เราเรียกกระดาษกราฟแบบนี้ว่า กระดาษกราฟโพลาร์ (Polar graph)
ถ้าไม่มีกระดาษกราฟโพลาร์เช่นนี้ ก็ใช้วิธีการวัดรังสีและมุมโดยใช้จุด O เป็นจุดคงที่จุดหนึ่ง และเส้น OX เป็นเส้นคงที่เส้นหนึ่ง เพื่อเป็นหลักในการวัดมุม q และความยาว r เราอาจจะลากเส้นตรงตั้งฉากกับ OX ที่จุด O เพื่อแสดงรังสีที่ทำมุม 90 องศา และ 270 องศา กับ OX ด้วยก็ได้ ค่าของ r โดยทั่วไปใช้ค่าบวก ถ้าใช้ค่า r ที่เป็นลบ หมายความว่ารังสีจะชี้ไปในทิศตรงกันข้ามกับที่ค่าของ r เป็นบวก
เช่น สมการ r = a (1-cos ) โดยการเปิดตาราง cos ตั้งแต่ = 0 องศา จนถึง 360 องศา เราจะได้ค่าของ r ที่คู่กันดังนี้
0° 45° 60° 90° 120° 135° 180° 210° 240° 270° 300° 360°
r 0 0.29a 0.5a a 1.5a 1.7a 2a 1.87a 1.5a a 0.5a 0
กำหนดจุดจากคู่ลำดับ (r, ) ไปทีละจุดบนกระดาษ แล้วโยงจุดเหล่านี้เข้าด้วยกันด้วยเส้นโค้ง ก็จะได้กราฟของสมการเป็นเส้นโค้งที่เรียกว่า เส้นโค้งคาร์ดิออยด์ ถ้าการแบ่งมุมทำได้ละเอียดมากขึ้นก็จะได้เส้นโค้งที่ถูกต้องยิ่งขึ้น
รูปต่อไปนี้เป็นเส้นโค้งมีลักษณะคล้ายกลีบดอกไม้ ซึ่งท่านอาจจะลองเขียนเองก็ได้ สมการ r = a sin n จะให้เส้นโค้งเป็นกลีบดอกไม้ กลีบ เมื่อ เป็นจำนวนคี่ และให้ 2n กลีบ เมื่อ n เป็นจำนวนคู่ ท่านลองเขียนเส้นโค้งจากสมการ r = a cos q จะได้กลีบดอกไม้อย่างใดบ้าง
สมการ r = a sin มีกราฟเป็นรูปวงกลมรัศมี a/2สัมผัสเส้น OX ที่จุด O และมีศูนย์กลางที่จุด (a/2, π/2)
วิธีเขียนเส้นโค้งโดยวัดความยาวของรังสีจากจุดคงที่จุดหนึ่ง และมุมที่รังสีกระทำเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่งนี้ เป็นวิธีที่นักวิทยาศาสตร์สามารถตรวจสอบได้ว่า ทางเดินของดวงดาวต่างๆ ตลอดจนทางเดินของดาวบริวารที่มนุษย์ประดิษฐ์ขึ้นจะมีลักษณะเป็นเส้นโค้งแบบไหน และสามารถบอกตำแหน่งได้ทุกเวลาด้วย
[กลับหัวข้อหลัก]
| 
| เส้นโค้งก้นหอย | |
|
| เส้นโค้งก้นหอยแบบมีมุมเท่ากัน หรือ เส้นโค้งก้นหอยแบบลอการิทึม | |
|
| ลวดลายของหอย มีลักษณะคล้ายกับเส้นโค้งก้นหอยสองชุดตัดกัน | |
|
| ลวดลายของดอกไม้ มีลักษณะคล้ายกับเส้นโค้งก้นหอยสองชุดตัดกัน | |
|
| กระดาษกราฟโพลาร์ | |
|
|
เส้นโค้งเกิดจากเส้นตรง
ถ้าลากเส้นตรงเป็นจำนวนมากๆ ค่อยๆ เปลี่ยนทิศทางไปตามกฎเกณฑ์ที่กำหนดไว้ เส้นตรงเหล่านั้นจะตัดกับเส้นตรง ที่อยู่ข้างเคียงกัน และจะมีเส้นโค้งเส้นหนึ่งเกิดขึ้น ซึ่งจะสัมผัสชุดของเส้นตรงที่ได้เขียนไว้แต่แรกทุกเส้น ยิ่งเขียนเส้นตรงให้มากขึ้นก็จะแลเห็นเส้นโค้งชัดเจนยิ่งขึ้น ในทางคณิตศาสตร์เรียกเส้นโค้งเช่นนี้ว่า เอนวิโลป (envelope) ของชุดเส้นตรง หรือเราอาจจะเรียกว่า เส้นขอบ ของชุดเส้นตรงก็ได้
ลองกำหนดเครื่องหมาย x บนกระดาษ ใช้ไม้บรรทัดวางบนกระดาษ ให้ริมข้างหนึ่งผ่านจุดตัดของเครื่องหมาย x แล้วขีดเส้นตรงที่ริมของไม้บรรทัดอีกด้านหนึ่ง ค่อยๆ เลื่อนไม้บรรทัดโดยให้ริมหนึ่งผ่าน x เสมอ และขีดเส้นตรงที่อีกริมหนึ่งของไม้บรรทัด เมื่อหมุนไม้บรรทัดไปจนรอบ x ก็จะได้ชุดเส้นตรงรอบ x ด้วย จะเห็นได้ว่าจะมีวงกลมหนึ่งวงมีศูนย์กลางที่ x และสัมผัสเส้นตรงชุดนี้ทุกเส้น วงกลมนี้ก็คือเส้นขอบ หรือ เอนวิโลป ของเส้นตรงซึ่งอยู่ห่างจาก x เป็นระยะทางเท่ากับความกว้างของไม้บรรทัดนั่นเอง
ถ้าลากเส้นตรงสองเส้นมีความยาวเส้นละ 4 นิ้ว และให้ทำมุมต่อกันเป็นมุมเล็กกว่า 90 องศา แบ่งสเกลบนเส้นทั้งสองออกเป็น 16 ส่วนโดยมีความยาวส่วนละ 1/4 นิ้ว บนเส้นหนึ่งเขียนเลข 1, 2, 3,...,16 และเขียนตัวอักษร ก,ข, ค,...,บ บนอีกเส้นหนึ่ง ใช้เส้นตรงโยงจุด ก และจุด 16 จุด ข และจุด 15 จุด ค และจุด 14 เช่นนี้ไปจนครบ 16 จุดบนแต่ละเส้น เส้นขอบของเส้นตรงชุดนี้คือเส้นโค้งพาราโบลา
จากแนวความคิดนี้เราอาจประดิษฐ์ลวดลายแบบคณิตศาสตร์ขึ้นได้ โดยใช้ไม้สี่เหลี่ยมจัตุรัส (อาจจะใช้ไม้อัดหรือวัสดุอื่นก็ได้) ลากเส้นตรงสองเส้นให้ตั้งฉากกันและกัน และแบ่งไม้แบบเป็นสี่ส่วน แบ่งสเกลจากจุดตัดออกไปทั้งสี่ทิศให้มีความยาวช่วงละครึ่งนิ้ว (หรือจะใช้หน่วยอื่นก็ได้) กำหนดเลข 1, 2, 3,... ลงบนเส้นตรงทั้งสอง (ตามภาพ) แล้วเจาะรูตรงหมายเลขทั้งหมด ใช้เชือกเส้นเล็กๆ ที่มีสีสวยงามหรือเส้นด้ายไนลอนสีก็ได้ สอดเข้าไปในรูเข็ม สอดเข็มใต้แผ่นกระดานตรงหมายเลข 8 บนแกน y ขึ้นมา แล้วสอดเข็มลงไปที่หมายเลข 1 บนแกน x ดึงด้ายให้ตึงเสมอ ต่อไปสอดเข็มขึ้นมาตรงหมายเลข 2 บนแกน x แล้วนำเข็มไปสอดลงตรงหมายเลข 7 บนแกน y สอดเข็มขึ้นมาตรงหมายเลข 6 บนแกน y แล้วนำไปสอดลงตรงหมายเลข 3 บนแกน x ทำเช่นนี้ไปจนครบทุกหมายเลข จะได้เส้นด้ายตัดกันมีขอบเป็นเส้นโค้ง อยู่ในส่วนที่หนึ่งของแผ่นไม้แบบ อีกสามส่วนของแผ่นไม้แบบก็กระทำเช่นเดียวกัน จะได้ลวดลายที่มีเส้นตรงเป็นชุดๆ ออกจากเส้นตรงที่ตั้งฉากกันสองเส้นและมีเส้นโค้งเป็นเส้นขอบ
เขียนวงกลมลงบนแผ่นไม้อัด แล้วแบ่งเส้นรอบวงของวงกลมออกเป็น 36 ส่วน โดยการวัดมุมที่ศูนย์กลางของวงกลม 36 มุม มุมละ 10 องศา ไปโดยรอบ ใช้ด้ายไนลอนสีและเข็มเช่นในวิธีที่แล้ว เจาะรูที่เส้นรอบของวงกลมตามตำแหน่งที่แบ่งไว้ 36 รู แล้วให้หมายเลขเรียงลำดับตั้งแต่ 1จนถึง 36 เอาเข็มสอดใต้ไม้อัดให้ขึ้นที่หมายเลข 1 แล้วสอดเข็มลงที่หมายเลข 10 และดึงเส้นด้ายให้ตึง สอดเข็มขึ้นที่หมายเลข 11 แล้วนำไปสอดที่หมายเลข 20 (หรือกลับไปที่หมายเลข 2 ก็ได้) ทำเช่นนี้ไปจนครบทั้ง 36 หมายเลข จะได้รูปร่างของเส้นด้ายเป็นเส้นตรงขึงตึงอยู่บนเส้นรอบวงกลมที่อยู่ห่างกัน 9 รู เส้นตรงเหล่านี้จะมีเส้นขอบเป็นวงกลมอีกวงหนึ่งอยู่ภายในวงกลมแรก และมีศูนย์กลางร่วมกัน
เราอาจจะนำความคิดนี้ไปออกแบบเป็นเครื่องประดับห้องแสดงนิทรรศการหรือประดับสถานที่ก็ได้ โดยใช้เส้นลวดขดเป็นวงกลมและหมายตำแหน่งบนวงกลมไว้ 36 แห่งเท่าๆ กัน ใช้เส้นลวดไนลอนผูกกับเส้นลวดตรงจุดใดจุดหนึ่งที่หมายไว้แล้วดำเนินวิธีการเช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้วข้างต้น ก็จะได้สิ่งตกแต่งที่ดูงามตา
คราวนี้ลองเขียนวงกลมและแบ่งเส้นรอบวงกลมออกเป็น 36 ส่วนเท่าๆ กัน แล้วเจาะรูเช่นเดียวกับวิธีข้างต้น ให้หมายเลขรูบนวงกลมตั้งแต่เลข 1จนถึง 36 แล้วให้หมายเลขต่อไปนี้ซ้ำอีกรอบหนึ่งจนถึงหมายเลข 72 ใช้เส้นด้ายไนลอนสีโยงจุดใดจุดหนึ่งบนวงกลม (โดยดึงเส้นด้ายระหว่างสองตำแหน่งให้ตึงอยู่เสมอ) โยงไปยังจุดซึ่งมีหมายเลขเป็นสองเท่าของจุดตั้งต้น เช่น
โยงจุด 1 ไปยังจุด 2
โยงจุด 2 ไปยังจุด 4
โยงจุด 3 ไปยังจุด 6
ทำเช่นนี้เรื่อยไปจนถึง
โยงจุด 19 ไปยังจุด 38
โยงจุด 20 ไปยังจุด 40
ไปจนกระทั่งสุดท้ายโยงจุด 35 ไปยังจุด 70
เส้นขอบของชุดเส้นตรงที่อยู่ภายในวงกลมนี้คือ เส้นโค้งคาร์ดิออยด์
ปัญหาสุนัขไล่กระต่าย สุนัขแลเห็นกระต่ายตัวหนึ่งอยู่ทางทิศเหนือของมันกระต่ายกำลังวิ่งไปทางทิศตะวันออกด้วยความเร็วสม่ำเสมอ สุนัขตัวนั้นพยายามวิ่งตรงไปยังกระต่ายด้วยความเร็วเป็นสองเท่าของเจ้ากระต่ายเคราะห์ร้าย ในที่สุดสุนัขก็วิ่งไปทันกระต่ายพอดี เส้นทางที่สุนัขวิ่งจากจุดตั้งต้นจะมีลักษณะอย่างไร
เราอาจแก้ปัญหานี้ได้โดยแบ่งเส้นตรง ที่กระต่ายวิ่งออกเป็นหลายๆ ส่วนเท่าๆ กัน โดยให้ส่วนหนึ่งแทนระยะทางที่กระต่ายวิ่งไปได้ใน 1 วินาที กำหนดอักษรบนแต่ละส่วน ก ข ค ง... เริ่มแรกสุนัขอยู่ที่จุด O และเห็นกระต่ายอยู่ที่จุด ก สุนัขวิ่งตามแนวเส้นตรง O ก พอสุนัขวิ่งมาถึงจุด 1 กระต่ายก็วิ่งไปถึงจุด ข สุนัขจึงเปลี่ยนแนววิ่งไปตามเส้นตรง 1ข เมื่อสุนัขวิ่งมาถึงจุด 2 แลเห็นกระต่ายอยู่ที่จุด ค สุนัขก็เปลี่ยนแนววิ่งไปตามเส้นตรง 2 ค เช่นนี้เรื่อยๆ ไปจนกระทั่งวิ่งไปทันกระต่ายที่จุด ป จะสังเกตเห็นได้ว่าเส้นทางที่สุนัขวิ่งเป็นเส้นโค้งมีลักษณะเป็นเส้นขอบของชุดเส้นตรง โดยที่เส้นตรง (ซึ่งเป็นแนวทางที่สุนัขตั้งใจวิ่ง) ทุกเส้นเป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้
[กลับหัวข้อหลัก]
| 
| วงกลมจากเส้นตรง | |
|
| เส้นขอบของคอร์ดที่มีความยาวคงที่ภายในวงกลม เป็นวงกลมที่มีศูนย์กลางรวมกันกับวงกลมวงเดิม | |
|
| เส้นโค้งคาร์ดิออยด์ซึ่งได้จากเส้นตรง | |
|
|
|
| |  |  |  |
|
 |
|
|
|
|
|
|
|
