ประโยคที่มีตัวแปรและเชื่อมด้วยเครื่องหมายแสดงความไม่เท่ากัน เช่น 4x  20 นี้ เรียกว่า อสมการ การหาค่าของตัวแปรซึ่งจะทำให้ได้ข้อความจริง เรียกว่า  การแก้อสมการ

          การแก้อสมการที่เชื่อมด้วยเครื่องหมาย ทำได้ง่ายถ้าเราแก้สมการได้ เช่น ถ้าต้องการคำตอบของอสมการ 4x   20 เราก็หาคำตอบของสมการ  4x  = 20 เสียก่อน  ค่าของ x  ซึ่งไม่ได้คำตอบของสมการ  4x = 20 จะเป็นคำตอบของอสมการ 4x    20 ทั้งสิ้น

         สำหรับอสมการ 4x    20 นั้น ถ้ากำหนดว่า x จะต้องแทนจำนวนเต็มซึ่งไม่ใช่จำนวนลบ เราก็จะได้คำตอบ  6  คำตอบคือ 0,1,2,3,4,5 กรณีนี้คือ กรณีที่แม่ค้าขายส้มเต็มกิโลกรัมเท่านั้น ถ้าแม่ค้ายอมขายครึ่งกิโลกรัมด้วย คำตอบก็จะมี 0, 1, 1 1,  2,  2 1, 3, 3 1,  4,  4 1, 5 ถ้าแม่ค้าขายเป็นขีดด้วย คำตอบก็จะมีเพิ่มขึ้นอีก คือ 0,  .1,  .2,  .3,  .4,...,  4.6,  4.7,  4.8,  4.9,  5

          ถ้าต้องการแก้อสมการ 4x   20 เมื่อ x แทนจำนวนจริง เราจะได้คำตอบมากมาย กล่าวคือจำนวนจริงทุกจำนวนที่ไม่เกิน 5 เป็นคำตอบของอสมการนี้

          อสมการ 4x    20 เป็นตัวอย่างของอสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว อสมการแบบนี้เราแก้ได้โดยอาศัยหลักใหญ่ๆ ดังนี้คือ
          (1)  ถ้านำจำนวนๆ หนึ่ง มาบวกหรือลบทั้งสองข้างของเครื่องหมาย ซึ่งแสดงความไม่เท่ากัน อสมการใหม่จะมีคำตอบเหมือนอสมการเดิม
          (2)  ถ้านำจำนวนบวกมาคูณหรือหารทั้งสองข้างของเครื่องหมายซึ่งแสดงความไม่เท่ากัน อสมการใหม่จะมีคำตอบเหมือนอสมการเดิม
          (3)  ถ้านำจำนวนลบมาคูณทั้งสองข้างของเครื่องหมายซึ่งแสดงความมากกว่า อสมการใหม่ซึ่งมีคำตอบเหมือนอสมการเดิม จะต้องเชื่อมด้วยเครื่องหมายที่แสดงความน้อยกว่า
         (4)   ถ้านำจำนวนลบ มาคูณหรือหารทั้งสองข้างของเครื่องหมายซึ่งแสดงความน้อยกว่า อสมการใหม่ซึ่งมีคำตอบเหมือนอสมการเดิม จะต้องเชื่อมด้วยเครื่องหมายที่แสดงความมากกว่า

          อสมการต่อไปนี้มีคำตอบเหมือนกัน
                     2x + 3 > 5
                           2x > 2      นำ  3  มาลบทั้งสองข้าง
                             x > 1      นำ  2  มาหารทั้งสองข้าง
                              
         เราสรุปได้ว่าจำนวนใดๆ ซึ่งมากกว่า 1 เป็นคำตอบของอสมการ  2x + 3 > 5 อสมการต่อไปนี้มีคำตอบเหมือนกัน
                      3 - 2x    5
                          -2x   2         นำ  3   มาลบทั้งสองข้าง
                             x   -1         นำ -2  มาหารทั้งสองข้าง

         เราสรุปได้ว่า  -1  หรือจำนวนใดๆ ที่น้อยกว่า  -1 เป็นคำตอบของอสมการ  3 - 2x   5

         อสมการอาจมีตัวแปรมากกว่า 1 ตัวแปรก็ได้ และวิธีแก้อสมการที่มีตัวแปรไม่เกิน  2  ตัวแปรเราสามารถใช้วิธีกราฟได้ ดังตัวอย่าง

         เราอาจจะใช้วิธีกราฟแก้ระบบอสมการได้ ดังต่อไปนี้
         กราฟแสดงคำตอบของระบบอสมการ
              2x + 3y       6
                  x - y       3

         ส่วนที่เป็นสีน้ำเงินคือคำตอบของอสมการ 2x + 3y   6 ส่วนที่เป็นสีแดง คือ คำตอบของอสมการ x - y   3 ส่วนตัดคือคำตอบของระบบอสมการที่ต้องการ
[กลับหัวข้อหลัก]

          ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการแก้ปัญหาระบบอสมการเชิงเส้นที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมบางอย่าง

          สวนขนัดหนึ่งมีพื้นที่สำหรับปลูกทุเรียนได้ 30 ต้น เจ้าของสวนต้องการปลูกทุเรียน 2  พันธุ์คือ ชะนี และรวง การปลูกใช้กิ่งทาบ ชะนีราคากิ่งละ 25 บาท รวงราคากิ่งละ 10 บาท ชะนีจะให้ผลในเวลา 7  ปี รวงให้ผลในเวลา 5 ปี ชะนีให้ผลประมาณ 25 ผลต่อต้น ส่วนรวงให้ผลประมาณ 50 ผลต่อต้น ชะนีขายได้โดยเฉลี่ยผลละ 45 บาท รวงขายได้โดยเฉลี่ยผลละ 20 บาท หลังจากทุเรียนให้ผลเต็มที่แล้ว ชาวสวนต้องการมีรายได้ประจำปีจากการขายทุเรียนมากที่สุด เขาควรปลูกทุเรียนอย่างละกี่ต้นถ้าเขามีงบประมาณค่าซื้อกิ่งเพียง 500 บาท

         สมมุติว่าจะปลูกชะนี x ต้น และรวง y ต้น จะได้เงื่อนไขต่อไปนี้ คือ
         (1)   x + y                 30    (จำนวนต้น)
         (2)  25x + 10y        500  (งบประมาณค่ากิ่ง)
         ภายใต้เงื่อนไขสองข้อนี้ เขาต้องการให้รายได้ประจำปีสูงสุด ชะนีจะให้รายได้ต้นละ 1,125 บาทต่อปี รวงจะให้รายได้ต้นละ 1,000 บาทต่อปี  ดังนั้น หลังจากที่ทุเรียนทุกต้นให้ผลเต็มที่แล้ว เขาจะมีรายได้ 1125x + 1000y  บาทต่อปี

         ฉะนั้น เราต้องการหาค่า x และ y ที่เป็นไปตามเงื่อนไขข้อ (1) และข้อ (2) และทำให้ 1125x + 1000y  มีค่าสูงสุดด้วย นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขที่ละไว้ในฐานที่เข้าใจอีกด้วยว่า  x และ y ต้องแทนจำนวนเต็มซึ่งไม่น้อยกว่า 0 เนื่องจาก
x และ y แทนจำนวนต้นไม้

         ถ้าปริมาณๆ หนึ่ง ตัวแปรที่ปรากฏในปริมาณนั้นมีเลขชี้กำลังเป็น 1 และตัวแปรไม่คูณกันเลย การหาคำตอบซึ่งทำให้ปริมาณนั้นมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ภายใต้เงื่อนไขที่เขียนได้ในรูปอสมการเชิงเส้น เราเรียกว่า  กำหนดการเชิงเส้น
[กลับหัวข้อหลัก]

          ปัจจุบันมีตำรามากมายเกี่ยวกับกำหนดการเชิงเส้น และในตำราเหล่านั้นได้บอกวิธีแก้ปัญหาหลายวิธี  ในที่นี้เราจะใช้วิธีเขียนกราฟ ดังต่อไปนี้

         จุดทุกจุดบนเส้นตรงที่ผ่านจุด  A  และจุด  B เป็นคำตอบของสมการ x + y  =  30 ดังนั้นจุดที่ x + y   30 และ x และ y ไม่น้อยกว่า 0 จะอยู่ในบริเวณรูปสามเหลี่ยม  OAB

         จุดทุกจุดบนเส้นตรงที่ผ่านจุด C และจุด D นั้น เป็นคำตอบของสมการ 25x + 10y = 500  ดังนั้นจุดที่ 25x + 10y  500 และ x กับ y ไม่น้อยกว่า 0 จะอยู่ในบริเวณรูปสามเหลี่ยม OCD

          ฉะนั้น คำตอบของระบบอสมการ (1) และ (2) จะอยู่ในบริเวณรูปสี่เหลี่ยม OAEC ในบรรดาคำตอบเหล่านี้ เราจะต้องหาคำตอบที่ทำให้ 1125x +1000y มีค่าสูงสุด  คำตอบเหล่านี้จะต้องให้ค่า x และ y เป็นจำนวนเต็มทั้งคู่ด้วย

          ถ้าไม่คิดอะไรเลย เราก็อาจจะหาคำตอบนั้นได้ดังนี้ หาจุดทั้งหมดในบริเวณสี่เหลี่ยม OAEC ซึ่งมีทั้ง x และ y เป็นจำนวนเต็ม (มีอยู่ไม่เกิน 600 จุด) หาค่า 1125x + 1000y  ของแต่ละจุด จุดที่ให้ค่ามากสุดคือ คำตอบที่ต้องการ

          แต่ถ้าเราใช้ความคิดเพียงเล็กน้อย เราก็จะไม่ต้องพิจารณาจุดทั้งหมดในบริเวณดังกล่าว เพราะจุดสองจุดใดๆ ซึ่งอยู่ในแนวนอนแนวเดียวกัน (ค่า y  เท่ากัน) จุดทางขวา (ค่า x มากกว่า) จะให้ค่า 1125x  + 1000y  มากกว่าจุดทางซ้าย ในทำนองเดียวกัน จุดสองจุดใดๆ ซึ่งอยู่ในแนวตั้งแนวเดียวกัน (ค่า x เท่ากัน) จุดที่อยู่เหนือ (ค่า y มากกว่า) จะให้ค่า 1125x + 1000y  มากกว่า ดังนั้นจุดที่จะให้ค่า  1125x + 1000y  มากๆ  ควรจะเป็นจุดที่อยู่บนขอบ AE และ  EC หรือจุดที่อยู่
ใกล้ๆ ขอบทั้งสองนี้เท่านั้น จุดเหล่านี้แสดงไว้ในกราฟ

          นอกจากนี้ เรายังสังเกตได้อีกว่า ถ้าพิจารณาจุด (x,y) จุดหนึ่งในบรรดาจุดเหล่านี้บนเส้น AE เช่น (5,25) จุดที่อยู่ถัดไปทางขวาคือจุด (x  +  1, y - 1) จะให้ค่า 1125x + 1000y  มากกว่า  ดังนั้น ในบรรดาจุดเหล่านี้ที่อยู่บน AE จุด (13,17) ซึ่งอยู่ขวาสุด จะให้ค่า 1125x + 1000y  มากที่สุด

         ดังนั้นเราคำนวณค่า 1125x + 1000y  ของจุดต่างๆ ที่เหลือ แล้วนำมาเทียบกับค่าที่ได้จากจุด (13,17) ดังนี้
                   

x	y	1125x + 1000y
13 14 15 16 17 18 19 20	17 15 12 10 7 5 2 0	31625 30750 28875 28000 26125 25250 23375 22500

                                 

         เราสรุปได้ว่า จุด (13,17) ให้ค่า 1125x + 1000y สูงสุด นั่นคือ ชาวสวนควรจะปลูกชะนี 13 ต้น และปลูกรวง 17  ต้น จึงจะได้รายได้ประจำปีสูงสุด ถ้าเปลี่ยนโจทย์เล็กน้อย  คำตอบอาจจะเปลี่ยนไป  เช่น
         ถ้า  x  และ  y ไม่ต้องแทนจำนวนเต็ม  จุด E คือจุด (13 1 16) จะให้ค่า 1125x + 1000y  สูงสุด  คือ 31,666.67 บาท

         ถ้าชาวสวนต้องการรายได้ภายใน 10 ปีสูงสุด เขาจะต้องหาค่า x  และ  y ซึ่งทำให้  (3 x 45 x 25X) + (5 x 20 x 50y) หรือ 3375X + 5000y สูงสุด  คำตอบจะเป็น (0,30) นั่นคือ เขาต้องปลูกรวงหมดทั้งหมดทั้งสวนในกรณีนี้

        กำหนดการเชิงเส้นนี้เป็นส่วนหนึ่งของวิชาวิจัยปฏิบัติการ (Operations Research) ซึ่งมีประโยชน์มากสำหรับการวางแผนในวงการต่างๆ เช่น เกษตรกรรม อุตสาหกรรม การขนส่ง ปัจจุบันวิชานี้มีสอนในระดับอุดมศึกษาของสถาบันหลายแห่งในประเทศไทย

[กลับหัวข้อหลัก]