เมื่อเรามองดูสิ่งต่างๆ รอบตัว เช่น เครื่องใช้และสิ่งประดิษฐ์ต่างๆ  หรือของที่เกิดขึ้นเองโดยธรรมชาติ เช่น ผลไม้ ร่างกายของมนุษย์และสัตว์ ลำต้นไม้ ฯลฯ เราจะเห็นได้ว่าส่วนใหญ่มักจะเป็นลักษณะผิวโค้ง
          ในทางคณิตศาสตร์ถือว่า ผิวโค้งเกิดจากการที่เส้นตรงหรือเส้นโค้งเคลื่อนที่ไปอย่างมีกฎเกณฑ์ เช่น ผิวของเปลือกไข่หรือผิวของผลไม้เป็นตัวอย่างของผิวโค้งปิด ส่วนผิวโค้งรูปทรงกรวย ผิวของถังน้ำ ถ้วยแก้ว และภาชนะต่างๆ เป็น ผิวโค้งเปิด

          เมื่อหมุนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบด้านๆ หนึ่ง จะได้รูปทรงเรียกว่าทรงกระบอก ด้านที่อยู่กับที่เรียกว่า แกนหมุนหรือแกนของทรงกระบอก ทรงกระบอกที่ได้มีแกนตั้งฉากกับฐาน
          โดยทั่วไป ถ้าเราเคลื่อนเส้นตรงให้ขนานกับเส้นตรงที่เส้นหนึ่ง และให้เส้นที่เคลื่อนที่นั้นสัมผัสเส้นโค้งซึ่งอยู่ในพื้นระนาบ (เส้นตรงนี้ต้องไม่อยู่ในพื้นระนาบนี้ด้วย) ก็จะได้ผิวโค้งเรียกว่า ผิวทรงกระบอกทั้งสิ้น ถ้าเส้นตรงคงที่ไม่ได้ตั้งฉากกับระนาบของเส้นโค้ง รูปทรงกระบอกที่ได้จะเป็นรูปทรงกระบอกเอียง เส้นโค้งที่ฐานอาจจะเป็นเส้นโค้งเปิดแบบพาราโบลา  หรือแบบไฮเพอร์โบลาก็ได้ ผิวที่เกิดจากการเคลื่อนที่เส้นตรงก็ยังคงเรียกว่า ผิวทรงกระบอก แต่ผิวโค้งทั้งสองข้างจะกางออกไปไม่สิ้นสุดเราเรียกว่า ทรงกระบอกเปิด
          ถ้าหมุนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รอบด้านที่ตั้งฉากด้านหนึ่งรูปที่ได้จะเป็นรูปกรวยมีฐานเป็นวงกลม ด้านที่อยู่กับที่เรียกว่าแกนของรูปกรวย จุดยอดหรือยอดกรวยจะอยู่บนแกนนี้ โดยทั่วไปแล้วแกนหมุนไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกับฐาน ความหมายทางคณิตศาสตร์ของรูปกรวยก็คือ รูปที่ได้จากการเคลื่อนเส้นตรงให้ปลายหนึ่งสัมผัสเส้นโค้งที่อยู่ในพื้นราบ และอีกปลายหนึ่งอยู่คงที่ที่จุดๆ หนึ่ง นอกระนาบของเส้นโค้งนั้น
          เส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน ให้เส้นหนึ่งอยู่คงที่ และหมุนอีกเส้นหนึ่งรอบเส้นที่อยู่คงที่ โดยให้มุมระหว่างเส้นตรงทั้งสองคงที่อยู่ตลอดเวลา รูปที่ได้จะเป็นรูปกรวยมีปลายสองทาง และมีจุดยอดรวมกันตรงจุดตัดของเส้นตรงทั้งสอง เมื่อใช้ระนาบตัดกรวยแบบนี้ จะได้รอยตัดเป็นวงกลม วงรี  พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา หรือเส้นตรงคู่ดังกล่าวมาแล้วในตอนต้น
          เมื่อหมุนวงกลมรอบเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่งจะได้รูปทรงกลม แต่ถ้าหมุนวงกลมรอบเส้นตรงเส้นหนึ่งที่อยู่นอกวงกลม แต่ยังคงอยู่ในระนาบเดียวกันกับวงกลมนั้น ก็จะได้รูปทรงเป็นแบบยางในของรถยนต์หรือห่วงพวงชูชีพ รูปทรงที่ได้จากการหมุนรูปวงรีรอบแกนยาว จะมีลักษณะคล้ายผลแตงไทยหรือลูกรักบี้ (rugby) นักคณิตศาสตร์เรียกผิวโค้งรูปทรงนี้ว่า  รูปอิลลิปซอยด์ (ellipsoid) ถ้าหากว่าหมุนรูปวงรีรอบแกนสั้นบ้างจะได้รูปมีลักษณะอย่างไร?
         ไฮเพอร์โบลามีสองส่วนไม่ติดต่อกัน ฉะนั้นเมื่อหมุนไฮเพอร์โบลารอบเส้นตรงที่ตั้งได้ฉากกับแกนของรูป ที่จุดกึ่งกลางของแกน และในระนาบเดียวกับไฮเพอร์โบลา ผิวโค้งที่ได้จะมีเพียงชิ้นเดียวเรียกว่า รูปไฮเพอร์โบลอยด์ชนิดชิ้นเดียว (Hyperboloid of one sheet) มีลักษณะคอดตรงกลางและผายออกไปไม่สิ้นสุดทั้งสองปลาย นักออกแบบเครื่องประดับบ้านมักจะออกแบบเก้าอี้นั่งเล่นให้มีรูปร่างอย่างนี้  นอกจากนี้เราอาจจะเห็นแจกันและถ้วยแก้วบางชนิดก็มีรูปทรงเช่นนี้ด้วย
          ถ้าเปลี่ยนแกนหมุนโดยเอาแกนของไฮเพอร์โบลาเป็นแกนหมุน รูปที่ได้จะเป็นรูปคล้ายโคมไฟฉายสองโคมหันหลังให้กันและกัน เราเรียกผิวโค้งเช่นนี้ว่า ไฮเพอร์โบลอยด์ชนิดสองชิ้น (Hyperboliod of two sheets) การหมุนพาราโบลารอบแกนของรูป จะได้ผิวโค้งมีลักษณะรูปโคมไฟฉายเรียกกันว่า ผิวโค้งพาราโบลอยด์ (paraboloid) ซึ่งมีคุณสมบัติทางแสงเป็นพิเศษ เมื่อวางจุดกำเนิดแสงสว่างไว้ตรงโฟกัส (ตรงจุด F) ของรูป แสงจะกระทบผิวโค้ง แล้วสะท้อนเป็นลำแสงขนานกับแกนของรูปไปจนถึงระยะอนันต์ และลำแสงที่ส่องมาไกลๆ เช่น จากดวงอาทิตย์ เมื่อมากระทบผิวโค้งนี้ก็จะมารวมกันที่จุดโฟกัสพอดี นักดาราศาสตร์ได้ประดิษฐ์กล้องโทรทัศน์โดยใช้ผิวโค้งพาราโบลอยด์ เป็นผิวโค้งที่รับแสงหรือรับคลื่นวิทยุจากดวงดาว ทำให้มนุษย์สามารถทราบความลี้ลับของจักรวาล
          ผิวเครื่องใช้ต่างๆ ภายในบ้าน เช่น แก้ว ถังน้ำ กระโถน หม้อหุงต้ม อาหาร หลอดไฟ ฯลฯ  มีลักษณะเป็นผิวโค้งที่เกิดจากการหมุน ระฆังก็มีลักษณะเป็นผิวโค้งที่เกิดจากการหมุนเช่นกัน
[กลับหัวข้อหลัก]

          เราอาจจะสร้างผิวโค้งจากเส้นตรงโดยใช้หลักการที่คล้ายกับการเขียนเส้นโค้งจากเส้นตรงในระนาบได้ดังนี้
          ใช้ไม้อัดหรือแผ่นพลาสติกสามแผ่นรูปจัตุรัสขนาดกว้างด้านละ 6 นิ้ว เจาะรูไม้อัดนี้เป็นแถวๆ ให้แต่ละแถวห่างกัน 1/4 นิ้ว และในแต่ละแถวให้รูปห่างกัน 1/4 นิ้ว เช่นเดียวกัน ประกอบไม้อัดหรือแผ่นพลาสติกทั้งสามแผ่นนี้ให้ตั้งฉากกันและกัน ใช้ด้ายไนลอนสีสอดขึ้นจากรูแถวริมนอกที่สุดของแผ่นไม้อัด แผ่นล่าง (รูหมายเลข 9) แล้วนำไปสอดที่รูปล่างสุดของแถว ก ในแผ่นตั้ง ดึงด้ายให้ตึงแล้วสอดเส้นด้ายออกทางรูที่สองนับจากข้างล่างในแถว ข ของแผ่นตั้งดึงด้ายให้ตึงแล้วกลับมาสอดลงในแถวนอกที่สุดในรูปถัดไปทางซ้ายมือของรูแรก (รูหมายเลข 8) และนำด้ายสอดขึ้นจากรูหมายเลข  7 แล้วกลับไปสอดเข้ารูที่ 3 นับจากข้างล่างของแถว ค ของแผ่นตั้ง ทำเช่นนี้เรื่อยไปจนครบทุกรูของแถว นอกของแผ่นล่าง และทุกรูในแนวเส้นทแยงมุมของแผ่นตั้ง ชุดของเส้นตรงเหล่านี้จะเรียงกันไปจนดูคล้ายผิวโค้ง ถ้าเจาะรูไม้อัดหรือแผ่นพลาสติกให้ถี่มากขึ้นเท่าใด ลักษณะของเส้นด้ายก็จะเป็นผิวโค้งมากขึ้น
          โดยใช้หลักการเดียวกันนี้ เราอาจนำไปสร้างแบบแสดงลักษณะของผิวโค้งที่เกิดจากเส้นตรงหลายชุด ด้วยการสอดเส้นด้ายให้ออกจากรูปในแถวหนึ่งของไม้แบบแผ่นล่าง แล้วสอดเส้นด้ายเข้าในแถวทแยงมุมของไม้แบบแผ่นตั้ง ที่อยู่ทางซ้ายหรือทางขวาก็ได้ ผู้อ่านจะสังเกตวิธีการได้จากรูปต่อไปนี้ และอาจจะนำไปประดิษฐ์แบบอื่นๆ ต่อไปอีกได้
          เมื่อสังเกตธรรมชาติรอบๆ ตัวเรา จะแลเห็นว่าสวนใหญ่มีลักษณะเป็นผิวโค้งและมีขอบเป็นเส้นโค้ง เราจะแลเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างผิวโค้ง และเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์กับทางธรรมชาติ ธรรมชาติสร้างสิ่งต่างๆ อย่างมีระเบียบแลดูสวยงามคล้ายกับมีกฎเกณฑ์กำหนดไว้ การสร้างเส้นโค้งและผิวโค้งทางคณิตศาสตร์ก็เป็นไปอย่างมีกฎเกณฑ์และวิธีการ ด้วยวิธีการทางคณิตศาสตร์ เราสามารถหาความยาวของเส้นโค้ง และหาเนื้อที่ของผิวโค้งได้ ตลอดจนสามารถหาปริมาตรรูปทรงที่ผิวโค้งนั้นห่อหุ้มอยู่ มนุษย์สามารถนำผลจากการศึกษาในเรื่องเหล่านี้ไปใช้ประโยชน์ทั้งในทางวิทยาศาสตร์  ทางศิลปะ ทางการออกแบบ ทำให้ผลิตผลทางหัตถกรรมและศิลปกรรมดูงดงามยิ่งขึ้น

[กลับหัวข้อหลัก]