ดีเทอร์มิแนนต์
โดย
นางนพภา คุณวาสี
สำหรับแต่ละเมตริกจัตุรัส จะมีจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง ซึ่งหาได้จากสมาชิกของเมตริกนั้นๆ เราเรียกจำนวนจริงนี้ว่า ดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริก และใช้สัญลักษณ์ดังนี้ คือ
ถ้า A = (ai j) เป็นเมตริก n x n
และจะเป็นดีเทอร์มิแนนต์ที่มีอันดับ n เช่น
วิธีคำนวณค่าของดีเทอร์มิแนนต์วิธีหนึ่ง คือ ใช้โคแฟกเตอร์ของสมาชิกของเมตริก กล่าวคือ
ถ้า A = (ai j) เป็นเมตริก n x n
ถ้าตัดสมาชิกแถว i และสดมภ์ที่ j (คือ แถว และสดมภ์ที่มี ai j นั่นเอง) ออก จะเหลือดีเทอร์มิแนนต์ที่มี n-1 แถว และ n-1 สดมภ์เป็นดีเทอร์มิแนนต์อันดับ n-1 คือ
สำหรับดีเทอร์มิแนนต์อันดับสาม มีวิธีคำนวณง่ายๆ โดยเขียนสดมภ์ที่ 1,2 ต่อท้ายสดมภ์ที่ 3 แล้วคูณตามลูกศร โดยผลคูณของพจน์ในแถวลูกศรชี้ขึ้นเป็น ลบ พจน์ในแนวลูกศรชี้ลงเป็น บวก
อ่านค่าของดีเทอร์มิแนนต์ได้เป็น
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
-a31 a22 a13 - a32 a23 a11 -a33 a21 a12
ถ้าเมตริกจัตุรัส A มีเมตริกจัตุรัส B ทำให้ผลคูณ AB = BA = I เราเรียกเมตริก B ว่า เมตริกผกผันของ A (ในทำนองเดียวกัน A ก็เป็นเมตริกผกผันของ B ด้วย)
โดยลักษณะการเท่ากันของเมตริก สมาชิกในตำแหน่งเดียวกันเท่ากัน ดังนั้นจะได้สมการต่อไปนี้เป็นจริง
จากสมการทั้งหมดนี้จะได้ b11 = 15, b21 = 25, b31 = -25, b12 = -25, b22 = 15, b32 = 45, b13 = 25, b23 = -15, b33 = 15
จะเห็นว่าถ้าเมตริกใหญ่ว่า 3x3 การหาเมตริกผกผันโดยวิธีข้างต้นนี้จะยิ่งไม่สะดวกมากขึ้น มีวิธีที่เหมาะคือ หาในรูปของเมตริกผูกผัน (adjoint matrix) หรือหาโดยใช้การแปลงเบื้องต้น (elementary transformations) ซึ่งผู้สนใจจะศึกษาได้จากตำราเกี่ยวกับเมตริก หรือจากตำราคณิตศาสตร์ชั้นสูง
|
|
ดีเทอร์มิแนนต์
